Simplifique esta razão:
{[3 - (raiz quadrada de (5 + x)]} / {[1 - (raiz quadrada de (5 - x)]}
{[3 - (raiz quadrada de (5 + x)]} / {[1 - (raiz quadrada de (5 - x)]}
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Vamos lá.Veja, Egg, que a resolução é mais ou menos simples.
Pede-se o limite, quando "x" tende a 4 da seguinte expressão:
lim [3 - √(5+x)] / [1 - √(5-x)]
x--> 4
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Note que se formos substituir o "x" por "4", iremos encontrar algo como "0/0", o que é uma indeterminação. Então deveremos levantar essa indeterminação.
ii) Se formos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que seria "1+√(5-x)", também iremos encontrar algo sobre "0" e isto não existe, pois denominador nenhum poderá ser zero.
iii) Então nos resta apenas uma hipótese. É encontrar, de forma independente, a derivada do numerador e a derivada do denominador. Com isso, com certeza, levantaremos a indeterminação.
iii.1) Vamos encontrar qual é a derivada do numerador, que é este:
3 - √(5+x) ---- note que √(5+x) = (5+x)¹/². Então vamos encontrar qual é a derivada de:
3 - (5+x)¹/² ---- encontrando, teremos:
0 - (1/2)*(5+x)⁻¹/²*(1) = - 1/2*1/(5+x)¹/² = -1/2*√(5+x) = -1/2√(5+x) <---Esta é a derivada do numerador.
iii.2) Vamos encontrar a derivada do denominador, que é este:
1 - √(5-x)---- como √(5-x) = (5-x)¹/², teremos:
1 - (5-x)¹/²* ----- encontrando a sua derivada, teremos:
0 - (1/2)*(5-x)⁻¹/²*(-1) = (1/2)*1/(5-x)¹/² = 1/2√(5-x) <--- Esta é a derivada do denominador.
iv) Agora vamos colocar, no lugar da expressão original, as duas derivadas encontradas de forma independente, como vimos acima. Assim:
lim [-1/2√(5+x)] / [1/2√(5-x)]
x--> 4
Agora note que já poderemos substituir o "x" por "4" e não teremos mais nenhuma indeterminação. Veja como ficaremos quando substituirmos o "x" por "4" na expressão acima:
[-1/2√(5+4)/ / [1/2√(5-4)] = -1/2√(9)] / 1/2√(1) ---- como √(9) = 3 e √(1) = 1, temos:
[-1/2*3] / [1/2*1] = [-1/6] / [1/2] ---- veja: temos aqui uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Então:
= (-1/6)*(2/1) = -1*2/6*1 = -2/6 = - 1/3 (após simplificarmos tudo por "2") ---- Ou seja, o limite pedido será igual a "-1/3", ou, em outras palavras, temos que:
lim [3 - √(5+x)] / [1 - √(5-x)] = - 1/3 <--- Esta é a resposta.
x-->4
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.