19. A equação x2 + y2 + 12x -4y – 9 = 0 representa uma circunferência. Encontre as coordenadas do ce.... Pergunta de ideia deH4Lz

December 2019 1 293 Report

19. A equação x2 + y2 + 12x -4y – 9 = 0 representa uma circunferência. Encontre as coordenadas do centro e o raio. Por favor, quem manja de matemática kkk.

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A ideia é reescrever a equação da circunferência na forma reduzida:

   $\mathsf{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2}$

de onde tiramos diretamente que

   • o centro é o ponto de coordenadas $\mathsf{(x_C,\,y_C);}$

   • o raio é r.

Para isso, usamos um artifício algébrico chamado completamento de quadrados.

Tome a equação da circunferência dada:

   $\mathsf{x^2+y^2+12x-4y-9=0}\\\\ \mathsf{x^2+12x+y^2-4y=9}$

Reescreva os termos em 1º grau como o dobro do produto de dois termos. Assim, 12x fica como 2 · x · 6 e 4y fica 2 · y · 2:

   $\mathsf{x^2+2\cdot x\cdot 6+y^2-2\cdot y\cdot 2=9}$

Para completar os quadrados no lado esquerdo, adicione 6² + 2² aos dois lados da equação:

   $\mathsf{x^2+2\cdot x\cdot 6+y^2-2\cdot y\cdot 2+6^2+2^2=9+6^2+2^2}\\\\ \mathsf{(x^2+2\cdot x\cdot 6+6^2)+(y^2-2\cdot y\cdot 2+2^2)=9+36+4}$

As expressões entre parênteses no lado esquerdo são as expansões do quadrado de uma soma/diferença via produtos notáveis:

   $\mathsf{(x+6)^2+(y-2)^2=49}$

   $\mathsf{\big(x-(-6)\big)^2+(y-2)^2=7^2}$ <——— equação reduzida.

Comparando a equação acima com a forma reduzida da equação da circunferência, tiramos que

   •   $\mathsf{x_C=-6,~~y_C=2}$ ⇒ o centro é o ponto (– 6, 2);

   •   o raio é r = 7.

Bons estudos! :-)

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