Passe para a forma trigonométrica o número z= -7-7i. Se possível por a resolução por favor.... Pergunta de ideia deH4Lz

December 2019 1 97 Report

Passe para a forma trigonométrica o número z= -7-7i. Se possível por a resolução por favor.

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Lukyo

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Dado um número complexo na forma cartesiana

z = a + bi

com a, b reais, temos que

• A parte real de z é a: $\mathsf{Re(z)=a;}$

• A parte imaginária de z é b: $\mathsf{Im(z)=b.}$

Sabendo disso, podemos obter

• O módulo de z, que é dado por

$\mathsf{|z|=\sqrt{a^2+b^2};}$

• O argumento de z, que é um ângulo θ tal que

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{cos\,\theta=\dfrac{Re(z)}{|z|}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}\\\\ \mathsf{sen\,\theta=\dfrac{Im(z)}{|z|}=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}} \end{array} \right.\qquad\qquad \mathsf{-\pi <\theta \le \pi.}$

Dessa forma, o número z expresso na forma trigonométrica será

$\mathsf{z=|z|\cdot (cos\,\theta+i\cdot sen\,\theta)}$

—————

Para o número complexo dado nesta tarefa,

$\mathsf{z=-7-7i}$

temos $\mathsf{a=-7,~~b=-7.}$

• Calculando o módulo de z:

$\mathsf{|z|=\sqrt{(-7)^2+(-7)^2}}\\\\ \mathsf{|z|=\sqrt{49+49}}\\\\ \mathsf{|z|=\sqrt{98}}\\\\ \mathsf{|z|=\sqrt{7^2\cdot 2}}\\\\ \mathsf{|z|=\sqrt{7^2}\cdot \sqrt{2}}\\\\ \mathsf{|z|=7\sqrt{2}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{m\'odulo de z.}$

• Calculando o argumento de z:

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{cos\,\theta=\dfrac{-\diagup\!\!\!\! 7}{\diagup\!\!\!\! 7\sqrt{2}}=-\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\\\\ \mathsf{sen\,\theta=\dfrac{-\diagup\!\!\!\! 7}{\diagup\!\!\!\! 7\sqrt{2}}=-\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \end{array} \right.$

Como o cosseno e o seno são ambos negativos, então θ é um ângulo do 3º quadrante:

$\mathsf{\Rightarrow\quad\theta=-\,\dfrac{3\pi}{4}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{argumento de z.}$

Por fim, expressamos z na forma trigonométrica:

$\mathsf{z=|z|\cdot (cos\,\theta+i\cdot sen\,\theta)}\\\\\\ \mathsf{z=7\sqrt{2}\cdot \left[cos\!\left(\!-\,\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\cdot sen\!\left(\!-\,\dfrac{3\pi}{4}\right)\right]}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$

Bons estudos! :-)

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Lukyo Por nada. =)