(Aritmética: Congruência modular – Números primos)Seja k ∈ ℕ*.a) Suponha que n = 2k + 1 é primo ímpa.... Pergunta de ideia deLukyo

June 2023 1 157 Report

(Aritmética: Congruência modular – Números primos)

Seja k ∈ ℕ*.

a) Suponha que n = 2k + 1 é primo ímpar. É possível que k seja da forma 11q + 5? Justifique.

b) Mostre que se 2k + 1 é primo ímpar, então para todo p primo, p > 2 e p ≠ 2k + 1, devemos ter k ≢ (p−1)/2 (mod p).

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gabrielcguimaraes

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a)
Com [tex]k = 11q + 5[/tex] :

[tex]n = 2k + 1\\= 2(11q +5) + 1\\= 22q +10 + 1\\= 22q + 11\\= 11(2q + 1)\\11 \mid n[/tex]

A não ser que [tex]q[/tex] seja igual a 0, [tex]n[/tex] não pode ser primo.

[tex]k[/tex] não pode ser da forma [tex]11q+5[/tex] e [tex]n[/tex] ser primo, simultaneamente.

Vamos supor o contrário, que existe [tex]k[/tex] tal que:

[tex]k \equiv \cfrac{p-1}{2} \pmod p[/tex]

Então:

[tex]2k \equiv p-1 \pmod p\\2k + 1\equiv p \pmod p\\2k + 1 \equiv 0 \pmod p[/tex]

Ou seja, [tex]p \mid n[/tex]. Porém isso não deveria acontecer, visto que [tex]n[/tex] é primo e que [tex]p \neq n[/tex]. Portanto, se a congruência do enunciado é verdadeira, [tex]n[/tex] não pode ser primo, então se [tex]n[/tex] é primo, a congruência do enunciado não é verdadeira:

[tex]k \not \equiv \cfrac{p-1}{2} \pmod p[/tex]

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gabrielcguimaraes Era isso que procurava rsrsrsrs

Lukyo tem várias outras, curiosas até

Lukyo Mas nenhuma delas é propriedade exclusiva de numeros primos (ou seja não são condições suficientes para afirmar que dado número é primo)

Lukyo não essas que eu citei

Lukyo A que eu me lembro que vale somente para os primos é o Teorema de Wilson

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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