[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o meno.... Pergunta de ideia deLukyo

August 2023 1 222 Report

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]

Encontre o menor valor natural para n, tal que,

4n(p − 1) + 1 é divisível por p

para todo p ∈ {3, 5, 7}.

Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.

Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Cxdsom

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Resposta: n corresponderá a todos os números da forma [tex]n=105q+79\:|\:q\in \mathbb{N}[/tex]. Quando q = 0, vemos que o menor valor natural assumido por n é, de fato, igual a 79. Vamos ver por quê.

Construindo a expressão

Uma boa forma de se aproximar dessa questão é partir de uma congruência fundamental e ir acrescentando, passo a passo, termos que a façam incidir na expressão final.

Sabemos que todo número natural é divisível por ele mesmo, então comecemos daí:

[tex]p\equiv 0\:(mod\:p)[/tex]

Subtraindo 1 dos dois lados da congruência:

[tex]p-1\equiv -1\:(mod\:p)[/tex]

Multiplicando por 4n:

[tex]4n(p-1)\equiv -4n\:(mod\:p)[/tex]

Finalmente, somamos 1:

[tex]4n(p-1)+1\equiv -4n+1\:(mod\:p)\:\:\:\:\:\:(i)[/tex]

Chegamos à expressão final, cuja divisibilidade por p desejamos avaliar. Queremos:

[tex]4n(p-1)+1\equiv0\:(mod\:p)\:\:\:\:\:\:(ii)[/tex]

Pela transitividade das congruências [tex](i)[/tex] e [tex](ii)[/tex], podemos afirmar:

[tex]-4n+1\equiv0 \:(mod\:p)[/tex]

[tex]4n\equiv1 \:(mod\:p)\:\:\:\:\:\:(iii)[/tex]

Análise

Sabendo que p ∈ {3, 5, 7}, abriremos [tex](iii)[/tex] em três congruências distintas, as quais comporão um sistema.

[tex]4n\equiv 1\:(mod\:3)\\4n\equiv 1\:(mod\:5)\\4n\equiv 1\:(mod\:7)[/tex]

Sabendo que MMC(3,5,7) = 105, fazemos:

[tex]35.4n\equiv 35.1\:(mod\:35.3)\\21.4n\equiv 21.1\:(mod\:21.5)\\15.4n\equiv 15.1\:(mod\:15.7)[/tex]

Resultando:

[tex]140n\equiv 35\:(mod\:105) \Longrightarrow (105+35)n\equiv 35\:(mod\:105) \Longrightarrow 35n\equiv 35\:(mod\:105)\\84n\equiv 21\:(mod\:105)\\60n\equiv 15\:(mod\:105)[/tex]

Percebemos que 35 + 84 + 60 = 179, e que MDC(179,105) = 1, o que indica que existem representantes da classe inversa de 179 módulo 105. Esse fato garante que podemos fazer, convenientemente:

[tex](-1).35n\equiv (-1)35\:(mod\:105)\\(-1).84n\equiv (-1).21\:(mod\:105)\\2.60n\equiv 2.15\:(mod\:105)[/tex]

Conclusão

Realizando os produtos e somando as congruências resultantes, teremos:

[tex]120n-84n-35n\equiv30-35-21\:(mod\:105)[/tex]

[tex]n\equiv -26\:(mod\:105)[/tex]

[tex]n\equiv 79-105\:(mod\:105)[/tex]

[tex]n\equiv 79\:(mod\:105)[/tex]

Com isso, concluímos que n será da forma n = 105q + 79, com q natural, e que 79 é o menor valor natural possível.

4 votes Thanks 3

Lukyo Excelente! Muito obrigado pela resposta :)

Lukyo Não sei se reparou, mas 79 é um representante da classe inversa do 4 nas aritméticas módulo 3, módulo 5 e módulo 7.

Cxdsom Verdade, não havia reparado. Acredito que isso só seja verdade porque 3, 5 e 7 são coprimos dois a dois, certo?

Lukyo Também, pois isso é suficiente para que o sistema tenha solução, mas também porque 4 é coprimo com cada um dos módulos..

Lukyo Daí o 4 é invertível modulo 3, módulo 5 e módulo 7.

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]n^2<2^n[/tex] para todo n natural, n > 4.─────Instruções: Seja claro e detalhado em sua demonstração. Respostas com passagens não justificadas não serão consideradas.

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