Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.
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Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².
Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².
Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.
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Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².
Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².
Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.
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Resposta: de fato, 2n pode ser reescrito como uma soma de dois quadrados. Vamos ver por quê.
Completando quadrados
Partimos da soma de quadrados original:
[tex]n=x^2+y^2\:\:\:\:(i)[/tex]
Podemos somar e subtrair o termo 2xy no lado direito sem prejudicar a relação de igualdade.
[tex]n=x^2+2xy+y^2-2xy[/tex]
Os três primeiros termos do lado direito constituem um produto notável, que é o quadrado da soma de dois termos. Trazendo sua forma reduzida, vai ficar:
[tex]n=(x+y)^2-2xy\:\:\:\:(ii)[/tex]
Evidenciando 2n
Nosso objetivo é verificar se o dobro de n (2n) também pode ser escrito como uma soma de dois quadrados. Para tanto, vamos somar [tex](i)[/tex] e [tex](ii)[/tex].
[tex]n+n=(x+y)^2+x^2-2xy+y^2[/tex]
Perceba que temos outro produto notável, composto pelos três últimos termos da equação. Trata-se do quadrado da diferença de dois termos. Em sua forma reduzida:
[tex]2n=(x+y)^2+(x-y)^2[/tex]
Conclusão
Podemos fazer as seguintes substituições (lembrando que x > y ≥ 1 e que, portanto, a > b ≥ 1):
Reescrevendo:
[tex]2n=a^2+b^2[/tex]
O que confirma que o dobro de um número natural que pode ser escrito como a soma dos quadrados de dois números naturais também pode ser escrito como a soma dos quadrados de outros dois números naturais.