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Resposta: de fato, 2n pode ser reescrito como uma soma de dois quadrados. Vamos ver por quê.

Completando quadrados

Partimos da soma de quadrados original:

[tex]n=x^2+y^2\:\:\:\:(i)[/tex]

Podemos somar e subtrair o termo 2xy no lado direito sem prejudicar a relação de igualdade.

[tex]n=x^2+2xy+y^2-2xy[/tex]

Os três primeiros termos do lado direito constituem um produto notável, que é o quadrado da soma de dois termos. Trazendo sua forma reduzida, vai ficar:

[tex]n=(x+y)^2-2xy\:\:\:\:(ii)[/tex]

Evidenciando 2n

Nosso objetivo é verificar se o dobro de n (2n) também pode ser escrito como uma soma de dois quadrados. Para tanto, vamos somar [tex](i)[/tex] e [tex](ii)[/tex].

[tex]n+n=(x+y)^2+x^2-2xy+y^2[/tex]

Perceba que temos outro produto notável, composto pelos três últimos termos da equação. Trata-se do quadrado da diferença de dois termos. Em sua forma reduzida:

[tex]2n=(x+y)^2+(x-y)^2[/tex]

Conclusão

Podemos fazer as seguintes substituições (lembrando que x > y ≥ 1 e que, portanto, a > b ≥ 1):

• [tex]a=x+y[/tex]
• [tex]b=x-y[/tex]

Reescrevendo:

[tex]2n=a^2+b^2[/tex]

O que confirma que o dobro de um número natural que pode ser escrito como a soma dos quadrados de dois números naturais também pode ser escrito como a soma dos quadrados de outros dois números naturais.