[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]
Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ:
2ⁿ ≡ 3n (mod 7)
─────
Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.
Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.
Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]
Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ:
2ⁿ ≡ 3n (mod 7)
─────
Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.
Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.
Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]
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Resposta: de fato, n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q natural}. Vamos ver por quê.
Equação de congruência original
[tex]2^n\equiv3n\:(mod\:7)\:\:\:\:\:(i)[/tex]
Comportamento das potências de 2 módulo 7
[tex]2^1=2\equiv 2\:(mod\:7)\\2^2=4\equiv 4\:(mod\:7)\\2^3=8\equiv 1\:(mod\:7)\\2^4=16\equiv 2\:(mod\:7)\\2^5=32\equiv 4\:(mod\:7)\\2^6=64\equiv 1\:(mod\:7)\\2^7=128\equiv 2\:(mod\:7)[/tex]
Para [tex]n\geq 1[/tex], observamos um padrão cíclico nos restos das divisões por 7. Este pode ser descrito em três casos particulares (considerando [tex]k[/tex] natural, [tex]k\geq 0[/tex]), quais sejam:
Não precisamos nos preocupar com [tex]n=0[/tex], pois 1 ([tex]2^0[/tex]) não é múltiplo de 7. Portanto, não será congruente com zero módulo 7.
Caso 1 ([tex]n_1=3k+1[/tex])
Substituindo em [tex](i)[/tex]:
[tex]2^{3k+1}\equiv 3(3k+1)\:(mod\:7)\\2^{3k}.2\equiv 9k+3\:(mod\:7)\\2\equiv(7k+2k)+3\:(mod\:7)\\2\equiv2k+3\:(mod\:7)\\2k+1\equiv0\:(mod\:7)[/tex]
Interpretando a congruência acima, estamos procurando por todos os números ímpares, da forma [tex]2k+1[/tex], múltiplos de 7. São eles: 7, 21, 35, 49 etc.
Então, escrevemos (considerando [tex]q[/tex] natural, [tex]q\geq 0[/tex]):
[tex]2k + 1=14q+7\\2k=14q+6\\k=7q+3[/tex]
Substituindo para n:
[tex]n_1 = 3k+1\\n_1=3(7q+3)+1\\n_1=21q+10[/tex]
Caso 2 ([tex]n_2=3k+2[/tex])
Substituindo em [tex](i)[/tex]:
[tex]2^{3k+2}\equiv 3(3k+2)\:(mod\:7)\\2^{3k}.4\equiv 9k+6\:(mod\:7)\\4\equiv(7k+2k)+6\:(mod\:7)\\4\equiv2k+6\:(mod\:7)\\2k+2\equiv0\:(mod\:7)\\2(k+1)\equiv0\:(mod\:7)[/tex]
Interpretando a congruência acima, estamos procurando por todos os números pares, da forma [tex]2(k+1)[/tex], múltiplos de 7. São eles: 14, 28, 42, 56 etc.
Então, escrevemos (considerando [tex]q[/tex] natural, [tex]q\geq 0[/tex]):
[tex]2(k+1)=14q+14\\k+1=7q+7\\k=7q+6[/tex]
Substituindo para n:
[tex]n_2 = 3k+2\\n_2=3(7q+6)+2\\n_2=21q+20[/tex]
Caso 3 ([tex]n_3=3k+3[/tex])
Substituindo em [tex](i)[/tex]:
[tex]2^{3k+3}\equiv 3(3k+3)\:(mod\:7)\\2^{3k}.8\equiv 9k+9\:(mod\:7)\\1\equiv(7k+2k)+9\:(mod\:7)\\1\equiv2k+9\:(mod\:7)\\2k+8\equiv0\:(mod\:7)\\2(k+4)\equiv0\:(mod\:7)[/tex]
Interpretando a congruência acima, estamos procurando por todos os números pares, da forma [tex]2(k+4)[/tex], múltiplos de 7. São eles: 14, 28, 42, 56 etc.
Então, escrevemos (considerando [tex]q[/tex] natural, [tex]q\geq 0[/tex]):
[tex]2(k+4)=14q+14\\k+4=7q+7\\k=7q+3[/tex]
Substituindo para n:
[tex]n_3 = 3k+3\\n_3=3(7q+3)+3\\n_3=21q+12[/tex]
Conclusão
Consolidando os resultados das análises para cada caso ([tex]n_1,n_2,n_3[/tex]), atestamos que:
n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q natural}, sendo essa nossa resposta final.