[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]
Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ:
3ⁿ ≡ n (mod 8)
─────
Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.
Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.
Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.
Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ:
3ⁿ ≡ n (mod 8)
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Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.
Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.
Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.
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Após os devidos cálculos feitos, podemos concluir que a solução para esta equação de congruência modular é n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.
[tex]\\[/tex]
Solução passo a passo:
[tex]\\[/tex]
O problema nos pede para resolver a seguinte equação de congruência modular, com n ∈ ℕ:
⟹ 3ⁿ ≡ n (mod 8)
Analisemos o que acontece as potências de 3 na aritmética módulo 8:
⟹ 3¹ = 3 ≡ 3 (mod 8)
⟹ 3² = 9 ≡ 1 (mod 8)
⟹ 3³ = 27 ≡ 3 (mod 8)
⟹ 3⁴ = 81 ≡ 1 (mod 8)
Observe que os restos seguem um padrão repetitivo e fácil de aprender. Usando esse padrão, podemos ver que:
[tex]\\\\ 3^{2k+1}~\equiv~3\pmod{8}\qquad\rm(i)\\\\\\ 3^{2k}~\equiv~1\pmod{8}\qquad\rm(ii)\\\\[/tex]
Vamos usar (i) e (ii) para encontrar a solução da nossa equação de congruência de maneira mais simples. Se fizermos uso de (i), temos que fazer n = 2k + 1, portanto, substituindo isso em nossa equação de congruência modular, temos:
[tex]\\\\ 3^n~\equiv~n\pmod 8 \\\\\\ 3^{2k+1}~\equiv~2k+1\pmod{8}\\\\\\ 3~\equiv~2k+1\pmod{8}\\\\\\ 2~\equiv~2k\pmod{8}\\\\\\ 2k~\equiv~2\pmod{8}\qquad\rm(iii)\\\\[/tex]
Observe que na equação (iii) temos o número 2 como fator comum, portanto, a congruência acima pode ser simplificada por 2 e obtemos uma congruência equivalente à anterior.
[tex]\\\\ 2\cdot k~\equiv~2\cdot1\pmod{2\cdot4}\\\\\\ k~\equiv~1\pmod{4}\\\\\\ k~=~\boxed{\boxed{\sf 4q~+~1}},\quad\exists q\in\mathbb{N}\\\\[/tex]
O valor de k representa a solução para a equação de congruência modular (iii), lembrando que n = 2k + 1 temos que n deve ser igual a:
[tex]\\\\ n~=~2\cdot\left(4q~+~1\right)~+~1\\\\\\ n~=~8q~+~2~+~1\\\\\\ n~=~\red{\boxed{\boxed{\sf8q~+~3}}},\quad\exists q\in\mathbb{N}\\\\[/tex]
Para o caso (ii), temos que n = 2k se fizermos isso, podemos ver que nossa equação de congruência modular se torna:
[tex]\\\\ 3^n~\equiv~n\pmod{8}\\\\\\ 3^{2k}~\equiv~2k\pmod{8}\\\\\\ 1~\equiv~2k\pmod{8}\\\\\\ 2k~\equiv~1\pmod{8}\qquad \rm(iv)\\\\[/tex]
Esta equação de congruência modular não tem solução pois não existe múltiplo de 2 que quando dividido por 8 deixa resto 1. Para provar isso existe um teorema que diz que se a e b são dois inteiros quaisquer e m é um inteiro positivo, então a congruência ax ≡ b (mod m) tem solução para x se e somente se b for divisível pelo máximo divisor comum (mdc) de a e m.
Conclusão final: A solução para a equação dada é n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.
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