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Definição 1: Dizemos que um conjunto [tex]A[/tex] é finito quando é vazio ou existe uma bijeção [tex]A[/tex] com o conjunto dos naturais menores ou igual a [tex]n[/tex].

Definição 2: Um subconjunto [tex]A[/tex] de [tex]\mathbb{N}[/tex] é limitado se existe [tex]p\in \mathbb{N}[/tex] tal que [tex]a\leq p[/tex] para todo [tex]a\in A[/tex].

• Teorema: Todo subconjunto de um conjunto finito é finito.

A demonstração do teorema será omitida, mas pode ser uma alternativa para outra tarefa.

Demonstração da tarefa:

[tex](\Rightarrow)[/tex] Supondo que [tex]A[/tex] é finito, então [tex]A[/tex] é limitado.

Sendo [tex]A=\{a_1,a_2,...,a_n\}\subset\mathbb{N}[/tex] um subconjunto finito. Dados [tex]a\in A,n\in\mathbb{N}[/tex], então [tex]a < n[/tex] quando existe [tex]p\in \mathbb{N}[/tex] tal que [tex]n=a+p[/tex]. Tomando [tex]p=a_1+...+a_n[/tex], segue que [tex]a\in A[/tex] implica em [tex]a\leq p[/tex]. Pela definição 2 concluísse que [tex]A[/tex] é limitado. [tex]\boxed{}[/tex]

[tex](\Leftarrow)[/tex] Supondo que [tex]A[/tex] é limitado, então [tex]A[/tex] é finito.

Por hipótese [tex]A\subset\mathbb{N}[/tex] é limitado. Pela definição 2 todos que estão em [tex]A[/tex] tem que ser [tex]\leq p[/tex]. Logo, o conjunto [tex]A[/tex] é subconjunto do conjunto de todos os [tex]p[/tex], com [tex]p\in \mathbb{N}[/tex], porém o conjunto de todos os [tex]p[/tex] é finito. Pelo Teorema concluísse que [tex]A[/tex] é finito. [tex]\boxed{}[/tex]