[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex].... Pergunta de ideia deLukyo

August 2023 1 241 Report

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]

Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Alissonsk

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Definição 1: Dizemos que um conjunto [tex]A[/tex] é finito quando é vazio ou existe uma bijeção [tex]A[/tex] com o conjunto dos naturais menores ou igual a [tex]n[/tex].

Definição 2: Um subconjunto [tex]A[/tex] de [tex]\mathbb{N}[/tex] é limitado se existe [tex]p\in \mathbb{N}[/tex] tal que [tex]a\leq p[/tex] para todo [tex]a\in A[/tex].

Teorema: Todo subconjunto de um conjunto finito é finito.

A demonstração do teorema será omitida, mas pode ser uma alternativa para outra tarefa.

Demonstração da tarefa:

[tex](\Rightarrow)[/tex] Supondo que [tex]A[/tex] é finito, então [tex]A[/tex] é limitado.

Sendo [tex]A=\{a_1,a_2,...,a_n\}\subset\mathbb{N}[/tex] um subconjunto finito. Dados [tex]a\in A,n\in\mathbb{N}[/tex], então [tex]a < n[/tex] quando existe [tex]p\in \mathbb{N}[/tex] tal que [tex]n=a+p[/tex]. Tomando [tex]p=a_1+...+a_n[/tex], segue que [tex]a\in A[/tex] implica em [tex]a\leq p[/tex]. Pela definição 2 concluísse que [tex]A[/tex] é limitado. [tex]\boxed{}[/tex]

[tex](\Leftarrow)[/tex] Supondo que [tex]A[/tex] é limitado, então [tex]A[/tex] é finito.

Por hipótese [tex]A\subset\mathbb{N}[/tex] é limitado. Pela definição 2 todos que estão em [tex]A[/tex] tem que ser [tex]\leq p[/tex]. Logo, o conjunto [tex]A[/tex] é subconjunto do conjunto de todos os [tex]p[/tex], com [tex]p\in \mathbb{N}[/tex], porém o conjunto de todos os [tex]p[/tex] é finito. Pelo Teorema concluísse que [tex]A[/tex] é finito. [tex]\boxed{}[/tex]

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Lukyo Muito obrigado! :) Quanto a demonstração do Teorema do subconjunto ser finito, imagino que uma prova por absurdo seja possível sem grandes complicações

Alissonsk ótimo!!

Alissonsk Podemos abrir uma outra tarefa. Quanto a prova por absurdo do teorema não conheço hehe.

Lukyo O absurdo consiste em constatar que não é possivel A ser infinito e A estar contido em B finito..

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]n^2<2^n[/tex] para todo n natural, n > 4.─────Instruções: Seja claro e detalhado em sua demonstração. Respostas com passagens não justificadas não serão consideradas.

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