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Resposta:

Após os devidos cálculos feitos, podemos concluir que n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

Explicação passo a passo:

O problema nos pede para resolver a seguinte equação de congruência modular, com n ∈ ℕ:

‎ ‎ ‎ ‎‏‏‎ ‎‎ ‎ ‎ ‎‏‏‎ [tex] n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]

Para resolver esta equação de congruência modular, veremos o resto quando [tex]3^{2n+1}[/tex] é dividido por 5, para verificar qual é o resto desta divisão podemos analisar o que acontece quando n assume algum tantos valores natural.

‎ ‎ ‎ ‎‏‏‎ ‎‎ ‎ ‎ ‎‏‏‎ [tex]\begin{cases}3^{2\cdot0+1}~=~3^1~\equiv~3\pmod{5}\\\\ 3^{2\cdot1+1}~=~3^3~\equiv~2\pmod{5}\\\\ 3^{2\cdot2+1}~=~3^5~\equiv~3\pmod{5}\\\\ 3^{2\cdot3+1}~=~3^7~\equiv~2\pmod{5}\end{cases}[/tex]

Observe que o resto da divisão do número [tex]3^{2n+1}[/tex] por 5 varia dependendo se o número natural n é par ou ímpar.

‎ ‎ ‎ ‎‏‏‎ ‎‎ ‎ ‎ ‎‏‏‎ [tex]3^{2n+1}~\equiv~3\pmod{5},\qquad \rm com~n~par.\\\\ 3^{2n+1}~\equiv~2\pmod{5},\qquad\rm com~n~impar.[/tex]

Multiplicando as duas congruências por n, podemos ver que:

[tex]n\cdot3^{2n+1}~\equiv~3n\pmod{5},\qquad \rm com~n~par.\\\\\\ n\cdot3^{2n+1}~\equiv~2n\pmod{5},\qquad\rm com~n~impar.[/tex]

Vamos usar ambos os resultados de ambas as congruências para resolver nossa equação de congruência original. Lembrando que todo número par pode ser escrito na forma n = 2k podemos ver que:

[tex]n\cdot3^{2n+1}~\equiv~1\pmod5\\\\\\ 3n~\equiv~1\pmod5\\\\\\ 3\cdot2k~\equiv~1\pmod5\\\\\\6k~\equiv~1\pmod5\qquad\rm(i)[/tex]

Da congruência anterior temos que o mdc(6, 5) = 1 e por definição 1 é divisível por 1, portanto existe solução. Se existe solução para a congruência anterior, existe um inteiro y, tal que:

[tex]6y~\equiv~1\pmod{5}\\\\\\6y~=~5t~+~1\qquad \rm com~t\in\mathbb{Z}[/tex]

O que acabamos de ter é uma equação diofantina, essa equação diofantina pode ser resolvida pelo algoritmo de Euclides, mas observe que não é complexa de resolver. Observe que se t = 1 podemos ver que:

[tex]6y~=~5\cdot1~+~1\\\\6y~=~6\\\\\boxed{\sf y~=~1}[/tex]

• Multiplicando o valor de "y" na expressão (i) temos:

[tex]\left(6\cdot1\right)k~\equiv~1\cdot1\pmod5\\\\\\k~\equiv~1\pmod5\\\\\\ k~=~\boxed{\boxed{\red{\sf5q~+~1}}} ,\qquad\exists q\in\mathbb{N}[/tex]

Lembrando que n = 2k podemos ver que nossa primeira solução para nossa equação de congruência é:

[tex]n~=~2k\\\\\\ n~=~2\cdot\left(5q~+~1\right)\\\\\\ n~=~\boxed{\boxed{\green{\sf10q~+~2}}},\qquad\exists q\in\mathbb{N}[/tex]

Esta é a solução quando n é um número par, então agora devemos encontrar a solução quando n é um número ímpar. Lembrando que todo número ímpar é escrito na forma n = 2k + 1.

[tex]n\cdot3^{2n+1}~\equiv~1\pmod5\\\\\\ 2n~\equiv~\pmod5\\\\\\ 2\cdot\left(2k+1\right)~\equiv~1\pmod5\\\\\\4k+2~\equiv~1\pmod5\\\\\\ 4k+1~\equiv~0\pmod5\\\\\\ 4k~\equiv~-1\pmod5\\\\\\ 4k~\equiv~4\pmod5\qquad\rm(ii)[/tex]

Observe que a congruência (ii) é equivalente a esta outra congruência:

[tex] 4\cdot k~\equiv~4\cdot1\pmod5\\\\\\ k~\equiv~1\pmod5\\\\\\k~=~\boxed{\boxed{\red{\sf5q~+~1}}} ,\qquad\exists q\in\mathbb{N}[/tex]

Lembrando que n = 2k + 1 temos que a segunda solução para nossa equação de congruência é:

[tex]n~=~2k~+~1\\\\\\ n~=~2\cdot\left(5q~+~1\right)~+~1\\\\\\n~=~10q~+~2~+~1\\\\\\ n~=~\boxed{\boxed{\green{\sf10q~+~3}}},\qquad\exists q\in\mathbb{N}[/tex]

Combinando as duas soluções temos que n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

Resposta: de fato, n ∈ {10q + r:   r ∈ {2, 3}  e  q ∈ ℕ}.​ Vamos ver por quê.

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Resolução

Podemos começar essa questão observando o comportamento das potências de 3 da forma [tex]\sf \displaystyle 3^{2n+1}[/tex] na aritmética módulo 5.

[tex]\displaystyle \begin{cases} n=0\implies 3^1=3 & \equiv3\\ n=1\implies 3^3=27 & \equiv2\\ n=2\implies 3^5=243 & \equiv3\\ n=3\implies 3^7=2.187 & \equiv2\\ n=4\implies 3^9=19.683& \equiv3\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \end{cases}[/tex]

Com esses resultados, percebe-se o seguinte padrão:

• Quando n é par, da forma [tex]\displaystyle n=2k\ |\ k \in \mathbb{N}[/tex], então [tex]\displaystyle 3^{2n+1}\equiv 3[/tex] ; e
• Quando n é ímpar, da forma [tex]\displaystyle n=2k+1\ |\ k \in \mathbb{N}[/tex], então [tex]\displaystyle 3^{2n+1}\equiv 2[/tex].

Dessa forma, teremos dois casos para analisar.

Primeiro caso (n par)

[tex]\displaystyle n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\:(mod\ 5)\\ \\ \implies 2k\cdot3\equiv 1\ (mod\ 5)\\ \\ \implies 6k \equiv1 \ (mod\ 5)\\ \\ \implies (5+1)k \equiv1 \ (mod\ 5)\\ \\ \implies k \equiv1 \ (mod\ 5)[/tex]

Portanto, vemos que:

[tex]\displaystyle k=5q+1\ |\ q \in \mathbb{N}[/tex]

Lembrando que, neste caso, n = 2k, fazemos:

[tex]\displaystyle \!\implies n=2\cdot(5q+1)\\ \\ \implies \boxed{n = 10q+2}\ \ \ \ \ \ \ (i)[/tex]

Segundo caso (n ímpar)

[tex]\displaystyle n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\:(mod\ 5)\\ \\ \implies (2k+1)\cdot2\equiv 1\ (mod\ 5)\\ \\ \implies 4k+2 \equiv1 \ (mod\ 5)\\ \\ \implies 4k \equiv -1 \ (mod\ 5)\\ \\ \implies 4k \equiv 4-5 \ (mod\ 5)\\ \\ \implies 4k \equiv 4 \ (mod\ 5)\\ \\ \implies (5-1)k \equiv 5-1 \ (mod\ 5)\\ \\ \implies k \equiv 1 \ (mod\ 5)[/tex]

Portanto, vemos que:

[tex]\displaystyle k=5q+1\ |\ q \in \mathbb{N}[/tex]

Lembrando que, neste caso, n = 2k+1, fazemos:

[tex]\displaystyle \!\implies n=2\cdot(5q+1)+1\\ \\ \implies \boxed{n = 10q+3}\ \ \ \ \ \ \ \ (ii)[/tex]

Conclusão

Consolidando as conclusões parciais [tex](i)[/tex] e [tex](ii)[/tex], temos que:

[tex]\boxed{\bold{n=10q+r\ | \ q\in \mathbb{N}\ ,\ r \in \{2,3\}}}[/tex]

sendo essa a nossa resposta final.