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Resposta:

De fato, a igualdade " 1³ + 2³ + ... + n³ = (1 + 2 + ... + n)² " é válida para todo n natural, n ≥ 1. Cuja demonstração foi feita pelo Princípio da Indução Finita.

Explicação passo a passo:

O objetivo é demonstrar a seguinte igualdade utilizando o Princípio da Indução Finita.

[tex]\Large\text{${\Longrightarrow\:1^3 + 2^3 + \dots + = (1 + 2 + \dots + n)^2}$}[/tex]

Se relembrarmos da Soma dos n termos de uma P.A (progressão aritmética), podemos utilizar-la para reescrever o lado direito da igualdade de uma forma mais simplória.

[tex]\Large\text{${\bf \Longrightarrow\:S_n = \dfrac{\left(a_1 + a_n\right)\cdot n}{2}\:\:\left\:(i\right)}$}[/tex]

Dessa forma, teremos:

[tex]\Large\text{${\Longrightarrow\:1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + \dots + n)^2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\Longleftrightarrow\:1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left[\dfrac{\left(n + 1\right)\cdot n}{2}\right]^2 }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\Longleftrightarrow\:1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \dfrac{\left(n + 1\right)^2\cdot n^2}{2^2} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\Longleftrightarrow\:1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \dfrac{\left(n + 1\right)^2\cdot n^2}{4} \:\:\:\left(ii\right)}$}[/tex]

Agora, partindo para o Princípio da Indução Finita, temos de analisar a seguinte situação:

[tex]\Large\text{${\Longrightarrow\:P\left(n\right):\:1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \dfrac{\left(n + 1\right)^2\cdot n^2}{4} }$}[/tex]

No caso base, há de ter que provar P(1), cujo é bem simples, em que haverá, para cada membro da equação, a substituição de n por 1.

[tex]\Large\text{${\Longrightarrow\:P\left(1\right): 1^3 = 1\checkmark\:\:\:;\:\:\:\dfrac{\left(1 + 1\right)^2\cdot1^2}{4} = \dfrac{4\:\cdot\:1}{4} = 1\checkmark}$}[/tex]

Portanto, P(1) é válido.

Indo para a Hipótese de Indução, podemos substituir "n" por um "k" natural, k ≥ 1.

[tex]\Large\text{${\Longrightarrow\:P\left(n\right):\:1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \dfrac{\left(n + 1\right)^2\cdot n^2}{4} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\Longleftrightarrow\:P\left(k\right):\:1^3 + 2^3 + \dots + k^3 = \dfrac{\left(k + 1\right)^2\cdot k^2}{4} }$}[/tex]

Agora, pelo passo indutivo:

Admitindo-se a seguinte proposição:

[tex]\Large\text{${P\left(k\right)\:\Longrightarrow\:Verdadeiro}$}[/tex]

Devemos provar a nossa tese de que:

[tex]\Large\text{${P\left(k + 1\right):\:1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{\left(k + 2\right)^2\cdot \left(k + 1\right)^2}{4} }$}[/tex]

[Demonstração da tese]:

Partindo da hipótese de indução, temos que:

[tex]\Large\text{${1^3 + 2^3 + \dots + k^3 = \dfrac{\left(k + 1\right)^2\cdot k^2}{4} }$}[/tex]

Ao somar (k + 1)³ em ambos os lados da equação, temos:

[tex]\Large\text{${1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{\left(k + 1\right)^2\cdot k^2}{4} + \left(k + 1\right)^3}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{k^2\:\cdot\:\left(k + 1\right)^2+ 4\left(k + 1\right)^3}{4} }$}[/tex]

Colocando o fator comum (k + 1)² em evidência, no lado direito da equação, no numerador da fração, obteremos:

[tex]\Large\text{${1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{\left(k + 1\right)^2\left[k^2 + 4\left(k + 1\right)\right]}{4} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{\left(k + 1\right)^2\:\cdot\:\left(k^2 + 4k + 4\right)}{4} }$}[/tex]

[tex]\Large\boxed{\bf 1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{\left(k + 1\right)^2\:\cdot\:\left(k+ 2\right)^2}{4} }[/tex]

Portanto, se P(k) é válido, para todo k natural, k ≥ 1, então P(n) também é válida para todo n natural, n ≥ 1.

Como queríamos demonstrar! :)

Bons estudos.

Espero ter ajudado❤.