[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]
Seja p um número primo.
Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.
Seja p um número primo.
Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.
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Resposta:
Essa é uma propriedade conhecida como "lei de Fermat" e é baseada no teorema de Fermat. O teorema afirma que se p é um número primo e a é um inteiro positivo que não é divisível por p, então a^(p-1) ≡ 1 (mod p).
A partir disso, temos:
(p-1)a^(p-1) ≡ (p-1) × 1 (mod p)
(p-1)a^(p-1) + 1 ≡ (p-1) + 1 (mod p)
Portanto, p divide (p-1)a^(p-1) + 1 e p divide (p-1)a^(p-1) + 1.