(Sequências numéricas e progressões)
Considere a sequência numérica
[tex](a_n)=(8,\,35,\,80,\,143,\,224,\,323,\,\ldots)[/tex]
com n ∈ ℕ*.
Sabendo que o termo geral de aₙ é dado por
aₙ = (3n − 1)(3n + 1),
escreva uma fórmula geral para o produto os n primeiros termos da sequência aₙ, em função de n.
Obs.: Continuação do conteúdo abordado na tarefa https://brainly.com.br/tarefa/53212375 .
Considere a sequência numérica
[tex](a_n)=(8,\,35,\,80,\,143,\,224,\,323,\,\ldots)[/tex]
com n ∈ ℕ*.
Sabendo que o termo geral de aₙ é dado por
aₙ = (3n − 1)(3n + 1),
escreva uma fórmula geral para o produto os n primeiros termos da sequência aₙ, em função de n.
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Utilizarei "P" para me referir ao produto dos primeiros termos da sequência numérica em questão.
[tex]P_1 = (3 \cdot 1 - 1)(3 \cdot 1 + 1)\\P_1 = 2 \cdot 4\\\\P_2 = (3 \cdot 2 - 1)(3 \cdot 2 + 1) \cdot 2 \cdot 4\\P_2 = 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4\\P_2 = 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7\\\\P_3 = (3 \cdot 3 - 1)(3 \cdot 3 + 1) \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4\\P_3 = 8 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4\\P_3 = 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 10\\P_3 = \cfrac{10!}{3 \cdot 6 \cdot 9}\\P_3 = \cfrac{10!}{(3 \cdot 1)(3 \cdot 2)(3 \cdot 3)}\\P_3 = \cfrac{10!}{3^3 \cdot 3!}[/tex]
Pode se deduzir o seguinte padrão:
[tex]P_n = \cfrac{(3n + 1)!}{3^n \cdot n!}[/tex]
Que corresponde precisamente à fórmula geral do produto desta sequência.