Em um triângulo retângulo ABC, reto em A, tem-se que tg B + tg C =25/12 O valor de sen B + sen C é: .... Pergunta de ideia deNabouvier

December 2019 1 839 Report

Em um triângulo retângulo ABC, reto em A, tem-se que
tg B + tg C =25/12
O valor de sen B + sen C é:
a) 25/12
b) 12/25
c) 7/5
d) 5/7

Com explicações

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Comentários (1) $No \ \Delta \ ret\^angulo \ \Delta ABC, \ se \ \widehat{A} \ = \ 90^\circ, \ \widehat{B} \ + \ \widehat{C} \ = \ 90^\circ. \\
\\
\widehat{B} \ e \ \widehat{C} \ s\~ao \ complementares \ \rightarrow \ sen(\widehat{B}) \ = \ cos(\widehat{C}) \ / sen(\widehat{C}) \ = \ cos(\widehat{B})$

$tg(\widehat{B}) \ + \ tg(\widehat{C}) \ = \ \frac{25}{12} \ \rightarrow \\
\\
\frac{sen(\widehat{B})}{cos(\widehat{B})} \ + \ \frac{sen(\widehat{C})}{cos(\widehat{C})} \ = \ \frac{25}{12} \ \rightarrow \\
\\
\frac{sen(\widehat{B})}{cos(\widehat{B})} \ + \ \frac{cos(\widehat{B})}{sen(\widehat{B})} \ = \ \frac{25}{12} \ \rightarrow \\
\\
\frac{sen^2(\widehat{B}) \ + \ cos^2(\widehat{B})}{sen(\widehat{B}) \ \cdot \ cos(\widehat{B})} \ = \ \frac{25}{12} \ \rightarrow \\
\\
$

$\frac{1}{sen(\widehat{B}) \ \cdot \ cos(\widehat{B})} \ = \ \frac{25}{12} \ \rightarrow \\
\\
sen(\widehat{B}) \ \cdot \ cos(\widehat{B}) \ = \ \frac{12}{25} \ \rightarrow \\
\\
sen(\widehat{B}) \ = \ \frac{12}{25 \ \cdot \ cos({\widehat{B})}} \ \rightarrow \\
\\
sen^2(\widehat{B}) \ + \ cos^2(\widehat{B}) \ = \ 1 \ \rightarrow \\
\\
\frac{144}{625 \ \cdot \ cos^2(\widehat{B})} \ + \ cos^2(\widehat{B}) \ = \ 1 \ \rightarrow \\
\\
$

$144 \ + \ 625 \ \cdot \ cos^4(\widehat{B})} \ = \ 625 \ \cdot \ cos^2(\widehat{B})} \ \rightarrow \ cos^2(\widehat{B})} \ = \ x : \\
\\
625 \ \cdot \ x^2 \ - \ 625 \ \cdot \ x \ + \ 144 \ = \ 0 \\
\\
Resolvendo, \ chegamos \ em : \\
\\
x \ = \ \frac{16}{25} \ e \ x \ = \ \frac{9}{25}, \ ambos \ v\'alidos, logo : \\
\\
cos(\widehat{B}) \ = \ \frac{4}{5} \ ou \ cos(\widehat{B}) \ = \ \frac{3}{5} \\
\\
$

$
Lembrando \ que \ \widehat{B} \ e \ \widehat{C} \ est\~ao \ no \ primeiro \ quadrante, \\
ou \ seja, \ t\^em \ senos \ e \ cossenos \ entre \ 0 \ e \ 1 \\
(s\~ao \ maiores \ do \ que \ 0 \ e \ menores \ do \ que \ 90\^circ).
\\
\\
Achamos \ ent\~ao \ que, \ se \ cos(\widehat{B}) \ = \ \frac{4}{5}, sen(\widehat{B}) \ = \ \frac{3}{5} \ e \ vice-versa.
\\
\\
Mas \ sen(\widehat{B}) \ = \ cos(\widehat{C}) \ e \ sen(\widehat{C}) \ = \ cos(\widehat{B}). \\
\\
$

$Perceba \ que, \ para \ qualquer \ valor \ assumido, \ sempre \ vai \ ser \ ou \ \frac{3}{5} \\
ou \ \frac{4}{5}. \\ 
\\
Logo, \ \boxed{\boxed{sen(\widehat{B}) \ + \ sen(\widehat{C}) \ = \ \frac{3}{5} \ + \ \frac{4}{5} \ = \ \frac{7}{5}}} \ \rightarrow \ \bold{alternativa \ 'c)'.}$

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