A probabilidade de se vencer uma partida de certo jogo é de 10%. Quantas partidas devem ser jogadas em sequência
para que a probabilidade de que haja vitória em pelo menos uma delas seja superior a 99%? Se necessário, use
log(3) = 0,477.
Resposta: 44
Comente a resolução, por favor
para que a probabilidade de que haja vitória em pelo menos uma delas seja superior a 99%? Se necessário, use
log(3) = 0,477.
Resposta: 44
Comente a resolução, por favor
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Raciocínio para este exercício:=> Note que é pedido:
""..a probabilidade de que haja vitória em PELO MENOS UMA delas seja superior a 99%.."" ...ou seja P(X ≥ 1) --> Isto implica que só NÃO INTERESSA a probabilidade de NÃO HAVER vitórias ...ou seja P(X = 0)
Considerando "X" como "vitória" (sucesso) e "Y" como "não vitória" (insucesso) temos agora uma relação (igualdade) importante para este exercício P(x = 0) = P(y ≥ 1) ..deu para entender até aqui??
...A partir desta última igualdade, e recorrendo ao conceito de probabilidade complementar, chegamos á nossa definição da probabilidade pedida e que será:
P(X ≥ 1) = 1 - P(Y ≥ 1)
...como queremos que P(X ≥ 1) ≥ 0,99 ...então teremos finalmente:
0,99 ≤ 1 - P(Y ≥ 1)
...e agora a dificuldade está limitada ao cálculo de P(Y ≥ 1) e para isso teremos de recorrer a uma Binomial
recordando os dados do problema:
Probabilidade de sucesso (X) = 0,1 ...implica uma probabilidade de insucesso (Y) de 1- 0,1 = 0,9
como desconhecemos o número de tentativas necessárias ..então vamos considerá-las como "n"
Deste modo a nossa Binomial ficará definida da seguinte forma:
C(n,0) . (0,1)⁰ . (0,9)⁽ⁿ⁻⁰⁾
agora resta integrá-la na inequação de probabilidade indicada em cima ..assim:
0,99 ≤ 1 - P(Y ≥ 1)
substituindo
0,99 ≤ 1 - [C(n,0) . (0,1)⁰ . (0,9)⁽ⁿ⁻⁰⁾]
acabamos o nosso raciocínio vamos passar á resolução:
0,99 ≤ 1 - [C(n,0) . (0,1)⁰ . (0,9)⁽ⁿ⁻⁰⁾]
0,99 ≤ 1 - { [n!/0!(n - 0)!] . (1) . (0,9)ⁿ}
0,99 ≤ 1 - { [n!/1(n!] . (1) . (0,9)ⁿ}
0,99 ≤ 1 - [ (1) . (1) . (0,9)ⁿ]
0,99 ≤ 1 - (0,9)ⁿ
0,99 -1 ≤ - (0,9)ⁿ
- 0,01 ≤ - (0,9)ⁿ
....multiplicando por (-1)
0,01 ≤ (0,9)ⁿ
..recorrendo ás propriedades dos logaritmos
Log 0,01 ≤ n . Log 0,9
-4,605170186 ≤ n . -0,1053605
(-4,605170186)/(-0,1053605) ≤ n
43,708691 ≤ n <-- Valor de "n" ...o que implica um número de tentativas (inteiro) de 44 tentativas
agora só falta verificar a solução:
=> PARA "n" = 43 teremos:
P(X ≥ 1) = 1 - (0,9)⁴³
P(X ≥ 1) = 1 - 0,010775264
P(X ≥ 1) = 0,9892247 ...logo "n" = 43 ..não satisfaz as condições da probabilidade pedida
=> PARA "n" = 44 teremos:
P(X ≥ 1) = 1 - (0,9)⁴⁴
P(X ≥ 1) = 1 - 0,009697737
P(X ≥ 1) = 0,9903023 "n" = 44 é a solução da nossa probabilidade
Espero ter ajudado