1. Sejam a e b constantes não nulas. Encontre uma relação entre a e b para que as retas tangentes as curvas
4y ^ 3 - x ^ 2 * y - x + ay = 0 e * x ^ 4 - 4y ^ 3 + bx + y = 0 na origem, sejam perpendiculares.
A equação da reta tangente a uma curva y = f(x) no ponto (x0, y0) é dada por y - y0 = f'(x0)(x - x0).
No caso da curva 4y ^ 3 - x ^ 2 * y - x + ay = 0, a derivada é 12y ^ 2 - x.
Portanto, a equação da reta tangente a esta curva na origem é y = -x.
No caso da curva * x ^ 4 - 4y ^ 3 + bx + y = 0, a derivada é 4x ^ 3 - 12y ^ 2 + b.
Portanto, a equação da reta tangente a esta curva na origem é y = b - x ^ 3 / 3.
Para que estas duas retas sejam perpendiculares, o produto de suas inclinações deve ser igual a -1.
Portanto, (-1)(b - x ^ 3 / 3) = -1.
Resolvendo para b, obtemos b = x ^ 3 / 3.
Assim, a relação entre a e b é a = -x ^ 3 / 9.
2. Considere a função f(x) = ax * e ^ (b * x ^ 2) onde a e b são constantes não nulas. Encontre todos os valores de a e b para que f tenha máximo local em x = 1.
A função f(x) = ax * e ^ (b * x ^ 2) tem um máximo local em x = 1 se e ^ (b * x ^ 2) tiver um máximo local em x = 1.
A função e ^ (b * x ^ 2) tem um máximo local em x = 1 se b * x ^ 2 tiver um mínimo local em x = 1.
A função b * x ^ 2 tem um mínimo local em x = 1 se b for negativo.
Assim, os valores de a e b para que f tenha máximo local em x = 1 são a < 0 e b < 0
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1. Sejam a e b constantes não nulas. Encontre uma relação entre a e b para que as retas tangentes as curvas
4y ^ 3 - x ^ 2 * y - x + ay = 0 e * x ^ 4 - 4y ^ 3 + bx + y = 0 na origem, sejam perpendiculares.
A equação da reta tangente a uma curva y = f(x) no ponto (x0, y0) é dada por y - y0 = f'(x0)(x - x0).
No caso da curva 4y ^ 3 - x ^ 2 * y - x + ay = 0, a derivada é 12y ^ 2 - x.
Portanto, a equação da reta tangente a esta curva na origem é y = -x.
No caso da curva * x ^ 4 - 4y ^ 3 + bx + y = 0, a derivada é 4x ^ 3 - 12y ^ 2 + b.
Portanto, a equação da reta tangente a esta curva na origem é y = b - x ^ 3 / 3.
Para que estas duas retas sejam perpendiculares, o produto de suas inclinações deve ser igual a -1.
Portanto, (-1)(b - x ^ 3 / 3) = -1.
Resolvendo para b, obtemos b = x ^ 3 / 3.
Assim, a relação entre a e b é a = -x ^ 3 / 9.
2. Considere a função f(x) = ax * e ^ (b * x ^ 2) onde a e b são constantes não nulas. Encontre todos os valores de a e b para que f tenha máximo local em x = 1.
A função f(x) = ax * e ^ (b * x ^ 2) tem um máximo local em x = 1 se e ^ (b * x ^ 2) tiver um máximo local em x = 1.
A função e ^ (b * x ^ 2) tem um máximo local em x = 1 se b * x ^ 2 tiver um mínimo local em x = 1.
A função b * x ^ 2 tem um mínimo local em x = 1 se b for negativo.
Assim, os valores de a e b para que f tenha máximo local em x = 1 são a < 0 e b < 0
Espero ter ajudado