Esse tipo de questão geralmente é manjado ou é do tipo de ir testando as alternativas. Desenvolvendo e deixando tudo em um único membro, vemos que não há mt o que ser feito.. Então no caso de não saber oque fazer pode ir testando as alternativas.
Por inspeção o item (E) é solução :
[tex]\displaystyle \sf \frac{x^3+6x}{3x^2+2}=\frac{3\sqrt{2}(1+\sqrt[3]{3})}{3\sqrt[3]{\sf 9}+1} = M \\\\\\ M = \frac{x^3+6x}{3x^2+2}\ ; \ \text{fa\c camos} \ x = \sqrt[6]{72} \\\\\\\ M = \frac{(\sqrt[6]{72})^3+6(\sqrt[6]{72})}{3(\sqrt[6]{72})^2+2} \\\\\\ M = \frac{\sqrt{6^2\cdot 2}+6\sqrt[6]{2^3 \cdot 3^2}}{3\sqrt[3]{9\cdot 8}+2} \\\\\\ M = \frac{6\sqrt{2}+6\sqrt{2}\sqrt[3]{3}}{3\cdot 2\sqrt[3]{9}+2}\\\\\\\ \large\boxed{\sf \ M = \frac{3\sqrt{2}(1+\sqrt[3]{3})}{3\sqrt[3]{9}+1} \ }\checkmark[/tex]
[tex]\displaystyle \sf \text{de fato }x=\sqrt[6]{72} \text{ \'e solu\c c\~ao}.[/tex]
como não tem essa alternativa, vamos manipular pra deixar no mesmo radical :
[tex]\displaystyle \sf x =\sqrt[3]{3} \sqrt{2}\\\\ x = \sqrt[6]{3^2}\cdot \sqrt[6]{2^3}\\\\ x = \sqrt[6]{3^2\cdot 2^3}\\\\\ x = \sqrt[6]{9\cdot 8} \\\\ \large\boxed{\sf \ x = \sqrt[6]{72} \ }\checkmark[/tex]
letra E
comentário : Pegando de cara essa questão, dificilmente veria a Manipulação nada trivial aí.. Então ainda sim, no caso de uma prova, eu faria testando as alternativas na ordem A,E,D,B e C. para economizar tempo e se sobrasse alguns minutos tentaria alguma manipulação.
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Esse tipo de questão geralmente é manjado ou é do tipo de ir testando as alternativas.
Desenvolvendo e deixando tudo em um único membro, vemos que não há mt o que ser feito.. Então no caso de não saber oque fazer pode ir testando as alternativas.
Por inspeção o item (E) é solução :
[tex]\displaystyle \sf \frac{x^3+6x}{3x^2+2}=\frac{3\sqrt{2}(1+\sqrt[3]{3})}{3\sqrt[3]{\sf 9}+1} = M \\\\\\ M = \frac{x^3+6x}{3x^2+2}\ ; \ \text{fa\c camos} \ x = \sqrt[6]{72} \\\\\\\ M = \frac{(\sqrt[6]{72})^3+6(\sqrt[6]{72})}{3(\sqrt[6]{72})^2+2} \\\\\\ M = \frac{\sqrt{6^2\cdot 2}+6\sqrt[6]{2^3 \cdot 3^2}}{3\sqrt[3]{9\cdot 8}+2} \\\\\\ M = \frac{6\sqrt{2}+6\sqrt{2}\sqrt[3]{3}}{3\cdot 2\sqrt[3]{9}+2}\\\\\\\ \large\boxed{\sf \ M = \frac{3\sqrt{2}(1+\sqrt[3]{3})}{3\sqrt[3]{9}+1} \ }\checkmark[/tex]
[tex]\displaystyle \sf \text{de fato }x=\sqrt[6]{72} \text{ \'e solu\c c\~ao}.[/tex]
Uma outra maneira
[tex]\displaystyle \sf \frac{x^3+6x}{3x^2+2}=\frac{3\sqrt{2}(1+\sqrt[3]{3})}{3\sqrt[3]{\sf 9}+1}= M[/tex]
vamos tentar deixar ambos os lados parecidos :
[tex]\displaystyle \sf M =\frac{3\sqrt{2}(1+\sqrt[3]{3})}{3\sqrt[3]{\sf 9}+1}\cdot \frac{2}{2} \\\\\\ M = \frac{6\sqrt{2}+6\sqrt{2}\sqrt[3]{3}}{6\sqrt[3]{9}+2} \\\\\\ \text{note que}: \\\\ 6\sqrt{2} = 3\cdot 2\sqrt{2} = (\sqrt[3]{3} \sqrt{2})^3\\\\ 6\sqrt[3]{9} = 3\cdot (\sqrt{2}\sqrt[3]{3})^2[/tex]
[tex]\displaystyle \sf Assim, \\\\ M= \frac{(\sqrt[3]{3} \sqrt{2})^3+6(\sqrt[3]{3} \sqrt{2}) }{3(\sqrt{2}\sqrt[3]{3})^2+2} \\\\\\\ \frac{(\sqrt[3]{3} \sqrt{2})^3+6(\sqrt[3]{3} \sqrt{2}) }{3(\sqrt{2}\sqrt[3]{3})^2+2}=\frac{x^3+6x}{3x^2+2} \\\\\\\ Ent\~ao : \\\\\ x=\sqrt[3]{3} \sqrt{2}[/tex]
como não tem essa alternativa, vamos manipular pra deixar no mesmo radical :
[tex]\displaystyle \sf x =\sqrt[3]{3} \sqrt{2}\\\\ x = \sqrt[6]{3^2}\cdot \sqrt[6]{2^3}\\\\ x = \sqrt[6]{3^2\cdot 2^3}\\\\\ x = \sqrt[6]{9\cdot 8} \\\\ \large\boxed{\sf \ x = \sqrt[6]{72} \ }\checkmark[/tex]
letra E
comentário :
Pegando de cara essa questão, dificilmente veria a Manipulação nada trivial aí.. Então ainda sim, no caso de uma prova, eu faria testando as alternativas na ordem A,E,D,B e C. para economizar tempo e se sobrasse alguns minutos tentaria alguma manipulação.