Resposta: a resposta correta é (E) 164(E) 164.

Explicação passo a passo:

Para resolver esse problema, podemos usar a relação de Viète para polinômios cúbicos. A relação de Viète estabelece que, para um polinômio cúbico ax3+bx2+cx+dax3+bx2+cx+d, as somas das raízes tomadas duas a duas, três a três e o produto das raízes são relacionadas pelos coeficientes do polinômio.

No caso do polinômio p(x)=x3+2x2+3x+4p(x)=x3+2x2+3x+4, as relações de Viète são:

α+β+γ=−2α+β+γ=−2

αβ+βγ+γα=3αβ+βγ+γα=3

αβγ=−4αβγ=−4

Queremos calcular (α4−1)(β4−1)(γ4−1)(α4−1)(β4−1)(γ4−1). Vamos começar calculando α4−1α4−1, β4−1β4−1 e γ4−1γ4−1 separadamente.

α4−1=(α2+1)(α2−1)α4−1=(α2+1)(α2−1)

β4−1=(β2+1)(β2−1)β4−1=(β2+1)(β2−1)

γ4−1=(γ2+1)(γ2−1)γ4−1=(γ2+1)(γ2−1)

Agora, podemos multiplicar essas expressões e simplificar:

(α4−1)(β4−1)(γ4−1)=(α2+1)(α2−1)(β2+1)(β2−1)(γ2+1)(γ2−1)(α4−1)(β4−1)(γ4−1)=(α2+1)(α2−1)(β2+1)(β2−1)(γ2+1)(γ2−1)

Vamos simplificar isso usando as relações de Viète. Podemos observar que (α2−1)(β2−1)(γ2−1)=(α2β2γ2−α2−β2−γ2+1)(α2−1)(β2−1)(γ2−1)=(α2β2γ2−α2−β2−γ2+1), e α2β2γ2=(−4)2=16α2β2γ2=(−4)2=16.

Substituindo isso de volta, obtemos:

(α4−1)(β4−1)(γ4−1)=(α2+1)(β2+1)(γ2+1)(α2β2γ2−α2−β2−γ2+1)(α4−1)(β4−1)(γ4−1)=(α2+1)(β2+1)(γ2+1)(α2β2γ2−α2−β2−γ2+1)

Agora, substituímos as relações de Viète:

(α4−1)(β4−1)(γ4−1)=(1+1)(1+1)(1+1)(16−(α+β+γ)2+2(αβ+βγ+γα))(α4−1)(β4−1)(γ4−1)=(1+1)(1+1)(1+1)(16−(α+β+γ)2+2(αβ+βγ+γα))

Simplificamos isso:

(α4−1)(β4−1)(γ4−1)=23⋅(16−(−2)2+2⋅3)(α4−1)(β4−1)(γ4−1)=23⋅(16−(−2)2+2⋅3)

(α4−1)(β4−1)(γ4−1)=8⋅(16+4+6)(α4−1)(β4−1)(γ4−1)=8⋅(16+4+6)

(α4−1)(β4−1)(γ4−1)=8⋅26(α4−1)(β4−1)(γ4−1)=8⋅26

(α4−1)(β4−1)(γ4−1)=208(α4−1)(β4−1)(γ4−1)=208

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Resposta:

Explicação passo a passo:

A resposta é (C) 156.

A ideia é usar a fórmula de Vieta para determinar as raízes do polinômio. A fórmula de Vieta diz que a soma das raízes de um polinômio de grau 3 é igual ao coeficiente do termo independente, dividido pelo coeficiente do termo de grau 3. Portanto, as raízes α, β e γ do polinômio p(x) satisfazem a equação:

α + β + γ = -2

Multiplicando ambos os lados da equação por -1, obtemos:

-α - β - γ = 2

Ao quadrado ambas as equações, obtemos:

α² + β² + γ² - 2αβ - 2βγ - 2αγ = 4

α² + β² + γ² + 2αβ + 2βγ + 2αγ = 4

Somando as duas equações, obtemos:

2(α² + β² + γ²) = 6

α² + β² + γ² = 3

Usando a fórmula de Vieta novamente, obtemos que o produto das raízes α, β e γ é igual ao coeficiente do termo constante, dividido pelo coeficiente do termo de grau 3. Portanto, temos:

αβγ = -4/1 = -4

Ao quadrado a equação α² + β² + γ² = 3, obtemos:

α² + β² + γ² + 2αβ + 2βγ + 2αγ = 9

Substituindo α² + β² + γ² por 3 e αβγ por -4, obtemos:

3 + 2αβ + 2βγ + 2αγ = 9

2αβ + 2βγ + 2αγ = 6

αβ + βγ + αγ = 3

Portanto, (α⁴ - 1)( β⁴ - 1)(γ⁴ - 1) = (α² + β² + γ²)(α² - β²)(α² - γ²)(β² - γ²) = 3 * 2 * 2 * 2 = 156.

Portanto, a resposta correta é (C) 156.