(Aritmética: Algoritmo de Euclides – equações diofantinas lineares a duas variáveis)Encontre os meno.... Pergunta de ideia deLukyo

June 2023 1 76 Report

(Aritmética: Algoritmo de Euclides – equações diofantinas lineares a duas variáveis)

Encontre os menores valores inteiros positivos para x e y que satisfazem a equação

65x − 47y = 1.

Dica: Use o algoritmo de Euclides.

Lista de comentários

gabrielcguimaraes

Verified answer

[tex]65x - 47y = 1[/tex]

Escrita dos números no formato xq + r:

[tex]65 = 47+ 18\\47 = 18 \cdot 2 + 11\\18 = 11 + 7\\11 = 7 + 4\\7 = 4 + 3\\4 = 3 + 1[/tex]

Preparando o 3 para eliminação:

[tex]1 = 4 - 3\\\\[/tex]

Preparando o 4 para eliminação:

[tex]1 = 4 - (7 - 4)\\1 = 4 - 7 + 4\\1 = 2 \cdot 4 - 7\\\\[/tex]

Preparando o 7 para eliminação:

[tex]1 = 2 \cdot (11 - 7) - 7\\1 = 2 \cdot 11 + 2 \cdot (-7) - 7\\1 = 2 \cdot 11 + 3 \cdot (-7)\\1 = 2 \cdot 11 - 3 \cdot 7\\\\[/tex]

Preparando o 11 para eliminação:

[tex]1 = 2 \cdot 11 - 3 \cdot (18 - 11)\\1 = 2 \cdot 11 - 3 \cdot 18 - 3 \cdot (-11)\\1 = 2 \cdot 11 - 3 \cdot 18 + 3 \cdot 11\\1 = 5 \cdot 11 - 3 \cdot 18\\\\[/tex]

Preparando o 18 para eliminação:

[tex]1 = 5 \cdot (-18 \cdot 2 + 47) - 3 \cdot 18\\1 = 5 \cdot (-18 \cdot 2) + 5 \cdot 47 - 3 \cdot 18\\1 = 5 \cdot (-18 \cdot 2) + 5 \cdot 47 - 3 \cdot 18\\1 = -10 \cdot 18 + 5 \cdot 47 - 3 \cdot 18\\1 = -13 \cdot 18 + 5 \cdot 47[/tex]

Simplificando após eliminar o 18:

[tex]1 = -13 \cdot (65 - 47) + 5 \cdot 47\\1 = -13 \cdot 65 - 13 \cdot (-47) + 5 \cdot 47\\1 = -13 \cdot 65 + 13 \cdot 47 + 5 \cdot 47\\1 = -13 \cdot 65 + 18 \cdot 47\\1 = -13 \cdot 65 - 18 \cdot (-47)[/tex]

Na última linha deixei o 47 negativo para que fique no formato da equação inicial.

Como a atividade solicita uma solução positiva, adicionamos e subtraímos o MMC de 65 e 47 (que, como são primos entre si, é [tex]65 \cdot 47[/tex]):

[tex]1 = -13 \cdot 65 - 18 \cdot (-47) + 65 \cdot 47 - 65 \cdot 47\\1 = -13 \cdot 65 - 18 \cdot (-47) + 65 \cdot 47 + 65 \cdot (-47)\\1 = 65(-13 + 47) - 47(-18 + 65)\\1 = 65 \cdot 34 - 47 \cdot 47[/tex]

Portanto:

[tex](x, y) = (34, 47)[/tex]

3 votes Thanks 3

Lukyo Estudando sobre os números primos. mas sem grandes novidades... Já estou indo dormir

Lukyo Qualquer coisa deixa aqui nos comentários e nos falamos

gabrielcguimaraes Estudando o que sobre os primos?

Lukyo Nada específico, propriedades e alguns fatos curiosos

gabrielcguimaraes Hm

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

Responda

Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

Responda

Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

Responda

Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

Responda

Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

Responda

Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

Responda

Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

Responda

Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

Responda

Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

Responda

Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

Responda

Lista de comentários

Verified answer

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

Helpful Links

Helpful Social

Lista de comentários

Verified answer

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.​

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.​

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]​

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.​

Helpful Links

Helpful Social

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.