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Resposta: n ∈ {5q + r | r ∈ {1, 3} e q natural}

Equação de congruência original

[tex]n(n+1)\equiv2\:(mod\:5)[/tex]

Reescrevendo:

[tex]n(n+1)-2\equiv0\:(mod\:5)\:\:\:\:(i)[/tex]

Reinterpretando para módulo 10

A partir de [tex](i)[/tex], sabemos que a equação é atendida para os valores de n que fazem o polinômio [tex]n(n+1)-2[/tex] múltiplo de 5.

Pelo critério de divisibilidade por 5, é correto afirmar que o o valor do polinômio acima, a depender de n, deve ser um número terminado em 0 ou 5.

Uma consequência interessante da aritmética módulo 10 (quando trabalhamos em base decimal) é que sempre se observa congruência com o último dígito do número estudado. Dessa forma, com base no critério de divisibilidade supracitado, podemos reescrever [tex](i)[/tex] como duas outras equações:

• [tex]n(n+1)-2\equiv0\:(mod\:10)\Rightarrow n(n+1)\equiv2\:(mod\:10)\:\:\:\:\:(ii)[/tex]
• [tex]n(n+1)-2\equiv5\:(mod\:10)\Rightarrow n(n+1)\equiv7\:(mod\:10)\:\:\:\:\:(iii)[/tex]

Ou seja, precisamos verificar quais valores de n fazem n(n+1) terminar em 2 ou em 7. Porém, vale observar que o produto de dois números consecutivos (n e n+1) sempre será par, de modo que, no fundo, só estamos buscando pelos casos terminados em 2.

Comportamento de n(n+1) módulo 10

Considerando n natural, testemos valores:

[tex]1.2=2\equiv2\\2.3=6\equiv6\\3.4=12\equiv2\\4.5=20\equiv0\\5.6=30\equiv0\\6.7=42\equiv2\\7.8=56\equiv6\\8.9=72\equiv2\\9.10=90\equiv0\\10.11=110\equiv0\\[/tex]

Podemos notar um padrão cíclico nos restos (últimos dígitos) das divisões por 10. Lembrando que, para nosso problema, só nos interessa os valores de n que retornam um número terminado em 2. Com base nos testes acima, vemos que n = {1, 3, 6, 8, 11, 13, 16, 18, ...}.

Conclusão

Observando os valores válidos de n, vemos que é possível separá-los em dois casos distintos (considerando q natural, q [tex]\geq[/tex] 0):

• [tex]n_1=5q+1[/tex]
• [tex]n_2=5q+3[/tex]

Consolidando, escrevemos: n ∈ {5q + r | r ∈ {1, 3} e q natural}, que é nossa resposta final.