[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Divisibilidade – Máximo Divisor Comum MDC]
Sejam a, b, c números naturais. Mostre que se a | bc e mdc(a, b) = 1, então a | c.
Obs.: Gentileza detalhar e justificar corretamente cada afirmação feita no decorrer da sua demonstração, caso contrário, a sua resposta poderá ser considerada incompleta.
Favor não utilizar diretamente o Teorema Fundamental da Aritmética (TFA) nesta demonstração, pois este é justamente um dos resultados prévios utilizados na própria demonstração do TFA.
Sejam a, b, c números naturais. Mostre que se a | bc e mdc(a, b) = 1, então a | c.
Obs.: Gentileza detalhar e justificar corretamente cada afirmação feita no decorrer da sua demonstração, caso contrário, a sua resposta poderá ser considerada incompleta.
Favor não utilizar diretamente o Teorema Fundamental da Aritmética (TFA) nesta demonstração, pois este é justamente um dos resultados prévios utilizados na própria demonstração do TFA.
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Foi possível demonstrar o Lema de Euclides.
Lema de Euclides
Temos que existem inteiros x,y e r tais que bc = ar e 1 = ax + by. Multiplicando esta última equação por c obtemos:
c = acx + bcy
= acx + ary
= a(cx + ry)
ou seja: a|c
Podemos observar que se mdc(a,b)≠1 então o Lema de Euclides pode falhar. Por exemplo, 12|9*8, porém 12 [tex]\nmid[/tex] 9 e 12 [tex]\nmid[/tex] 8.
Saiba mais sobre o Teoria dos Números: https://brainly.com.br/tarefa/16821040