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Resposta:

Explicação passo a passo:

A afirmação diz que, se p é um número primo que divide n - r e 2n + 1 é um número primo, então p não divide 2r + 1. Vamos provar essa afirmação, pera aí.

Primeiro, vamos usar a propriedade de que p divide n - r para escrever n - r como um produto de p e q, onde q é outro inteiro:

n - r = p * q

Agora, vamos adicionar r a ambos os lados da equação acima:

n = p * q + r

Substituindo n na expressão 2n + 1, temos:

2(p * q + r) + 1 = 2p * q + 2r + 1

Como p é um número primo, não pode haver nenhum inteiro q tal que 2p * q + 2r + 1 seja um múltiplo de p. Portanto, 2r + 1 não pode ser divisível por p.

A afirmação diz que p não pode ser igual a 2n+1, que é igual a 2pq + 2r + 1. Vamos tentar entender por que isso é verdadeiro.

Primeiro, vamos lembrar que p é um número primo. Isso significa que p é um número inteiro maior do que 1 que não é divisível por nenhum outro número inteiro a não ser 1 e ele mesmo.

Agora, vamos olhar para a expressão 2n+1. Ela é igual a 2pq + 2r + 1. Isso significa que p é igual a 2pq + 2r + 1. No entanto, como p é um número primo, não pode ser divisível por nenhum outro número inteiro a não ser 1 e ele mesmo. Portanto, p não pode ser igual a 2pq + 2r + 1.

Olá!

Resposta:

Para mostrar que se p | n − r e 2n + 1 é primo, então p ∤ 2r + 1, primeiramente, temos que entender o que significa p | n − r. Isso significa que p é um divisor exato de n − r. O símbolo "|" é usado para representar divisibilidade exata. Então, n − r = pq, para algum q natural. Isso nos permite escrever n = pq + r.

A partir disso, temos 2n + 1 = (2q)p + (2r + 1). Como 2n + 1 é primo, não podemos ter nenhum outro divisor além de 1 e 2n + 1. Portanto, p não pode ser igual a 2pq + 2r + 1, pois isso significaria que p é um divisor de 2n + 1, o que é contraditório com o fato de que 2n + 1 é primo.

Outra forma de justificar é que p < 2p ≤ 2pq < 2pq + 2q + 1, então se p = 2pq + 2r + 1 isso faria com que p > 2pq + 2r + 1, então p não poderia ser um divisor de 2pq + 2r + 1.

Resumindo, mostramos que se p | n − r e 2n + 1 é primo, então p ∤ 2r + 1, pois se isso não fosse verdade, p seria um divisor de 2n + 1, o que é contraditório com o fato de que 2n + 1 é primo. Além disso, p não pode ser igual a 2pq + 2r + 1, pois isso faria com que p > 2pq + 2r + 1.

Espero ter ajudado!

Se puder, dê o coraçãozinho e sua nota. Muito obrigado!