a resposta esta na imagem espero ter ajudado

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De acordo com os dados do enunciado e realizados os cálculos concluímos que a integral indefinida é:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int f(x) dx = -\:\dfrac{ 2x^{3} }{3} + 2x^{2} + C } $ }[/tex]

Uma antiderivada da função f é uma função F tal que F'(x)  = f(x) em todo ponto onde f(x) é definida por:

[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int \: f( x) dx= F(x) + C } $ } }[/tex]

A integral indefinida não possui intervalos de integração.

Propriedades das integrais indefinidas para resolver:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\bullet \quad \int dx = x +C } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\bullet \quad \int x^n\:dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C, ~ com ~ n\neq - 1 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\bullet \quad \int k\:dx = k \int dx = k\,x +C } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\bullet \quad \int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) = F(x) \pm G(x) + C} $ }[/tex]

Dados fornecidos pelo enunciado:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f(x) = -2x^{2} +4x } $ }[/tex]

Solução:

Aplicando a definição e as propriedades, temos:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int f(x) dx = \int (-2x^{2} +4x)\,dx } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int f(x) dx = - \int 2x^{2}\,dx + \int 4x \,dx } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int f(x) dx = -2 \int x^{2}\,dx + 4 \int x \,dx } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int f(x) dx = -2 \cdot \dfrac{x^{2 +1} }{2 +1} +C_1 + 4 \cdot \dfrac{ x^{1+1} }{1+1} +C_2 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int f(x) dx = -2 \cdot \dfrac{x^{3} }{3} +C_1 + 4 \cdot \dfrac{ x^{2} }{2} +C_2 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int f(x) dx = -\:\dfrac{ 2x^{3} }{3} + C_1 + \dfrac{ 4x^{2} }{2} + C_2 } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int f(x) dx = -\:\dfrac{ 2x^{3} }{3} + 2x^{2} + C }[/tex]

Lembrando que:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ C = C_1 + C_2 } $ }[/tex]

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