Resposta:

[tex]\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-5x+4}{x^3+x-2} = -\dfrac{3}{4}[/tex]

Explicação passo a passo:

Resolvamos o limite dado:

[tex]\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-5x+4}{x^3+x-2}\\\\\\= \lim_{x \to 1} \dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(x^2-5x+4\right)}{\dfrac{d}{dx}\left(x^3+x-2\right)}\\\\\\= \lim_{x \to 1} \dfrac{2x-5}{3x^2+1}\\\\\\= \dfrac{2 \cdot 1 - 5}{3 \cdot 1^2 + 1}\\\\\\= \boxed{-\dfrac{3}{4}}[/tex]

L'Hôpital

O uso de L'Hôpital no cálculo é importantíssimo, uma vez que existe limites que não são calculados diretamente e limites onde há uma indeterminação. O que diz a regra de L'Hôpital? Sendo o numerador uma função [tex]f[/tex] e o denominador uma função [tex]g[/tex] ambas deriváveis, de modo que [tex]g(x)\neq 0[/tex] para um [tex]x[/tex] próximo de [tex]a[/tex], mas não em [tex]a[/tex]. Então

                                       [tex]\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex]

Observação: Há limites que precisamos derivar mais de uma vez para encontrar o limite. Ou seja, é possível que ao realizarmos a primeira derivada não tenhamos o valor do limite e continuemos com a indeterminação, para isso é necessário a segunda derivada.

Um bom exemplo é o dado no problema. Queremos o limite de [tex]\lim_{n \to 1} \dfrac{x^2-5x+4}{x^3+x-2}[/tex], vamos substituir o 1. Então

[tex]\lim_{n \to 1} \dfrac{1^2-5.1+4}{1^3+1-2}=\dfrac{1-1}{2-2} =\dfrac{0}{0}[/tex]

Temos um caso de indeterminação, então convém usar a regra de L'Hôpital. Antes vamos lembrar algumas regras de derivação

[tex]f(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}[/tex]  ( Derivação da potência )

[tex]f(x)=c,~onde~c~e\´~uma~constante~~\Rightarrow f'(x)=0[/tex] ( Derivação de uma constante )

Derivando o numerador e denominador

[tex]f(x)=x^2-5x+4 ~~\Rightarrow ~~f'(x)=2x-5\\ \\ g(x)=x^3+x-2~~\Rightarrow~~g'(x)=3x^2+1[/tex]

Então

[tex]\lim_{n \to 1} \dfrac{2x-5}{3x^2+1} =\dfrac{2.1-5}{3.1^2+1} =\boxed{\dfrac{-3}{4} }[/tex]

Portanto, -3/4 é a resposta.