A derivada de x^2 é 2x, pois a derivada de x^n é n * x^(n-1).
A derivada de sqrt(x) é (1/2) * x^(-1/2), pois a derivada de sqrt(x) é (1/2) * x^(-1/2).
Agora, somando as derivadas parciais, temos:
f'(x) = 2x + (1/2) * x^(-1/2)
Simplificando, podemos escrever a derivada como:
f'(x) = 2x + (1/2) * sqrt(x)
Portanto, a derivada da função f(x) = x^2 + sqrt(x) é f'(x) = 2x + (1/2) * sqrt(x).
b) b) f(x) = x^2 + 1/e^x
A derivada de x^2 é 2x, pois a derivada de x^n é n * x^(n-1).
A derivada de 1/e^x é -1/e^x, pois a derivada de e^x é e^x e o sinal é negativo devido à regra da cadeia.
Agora, somando as derivadas parciais, temos:
f'(x) = 2x - 1/e^x
Portanto, a derivada da função f(x) = x^2 + 1/e^x é f'(x) = 2x - 1/e^x.
c)
Para calcular a derivada da função f(x) = e^(2x+1), vamos utilizar a regra da cadeia.
A regra da cadeia afirma que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função externa pela derivada da função interna.
No caso da função f(x) = e^(2x+1), a função externa é a exponencial e a função interna é 2x+1.
A derivada da função exponencial e^u, onde u é uma função de x, é dada por d(e^u)/dx = e^u * du/dx.
A derivada de 2x+1 em relação a x é 2.
Aplicando a regra da cadeia, temos:
f'(x) = e^(2x+1) * d(2x+1)/dx
f'(x) = e^(2x+1) * 2
Portanto, a derivada da função f(x) = e^(2x+1) é f'(x) = 2e^(2x+1).
2) a) Para calcular a derivada de f(x) = x^2 - 2x, vamos utilizar as regras de derivação.
A derivada de x^n é n * x^(n-1). Aplicando essa regra, temos:
f'(x) = 2x - 2
b) Para visualizar o gráfico da função f(x) = x^2 - 2x e de sua derivada, podemos plotá-los em um mesmo plano cartesiano.
Primeiro, vamos analisar o gráfico da função f(x). Sabemos que é uma parábola com concavidade voltada para cima, pois o coeficiente do termo x^2 é positivo (1). Além disso, o termo linear -2x indica que a parábola tem um ponto de mínimo. Podemos encontrar o vértice da parábola usando a fórmula x = -b / (2a), onde a é o coeficiente de x^2 e b é o coeficiente de x. No caso, x = -(-2) / (2*1) = 1. Portanto, o vértice da parábola está em x = 1.
Agora, vamos analisar o gráfico da derivada f'(x) = 2x - 2. É uma função linear, portanto, uma reta com inclinação positiva (2). Essa reta intercepta o eixo y em -2.
Agora, plotando ambos os gráficos no mesmo plano, teremos a parábola f(x) = x^2 - 2x e a reta f'(x) = 2x - 2.
c) No gráfico da derivada, observamos que a reta f'(x) = 2x - 2 vale zero em x = 1. Isso significa que a função original f(x) = x^2 - 2x possui um ponto crítico em x = 1, onde a inclinação da curva é nula. Antes de x = 1, a função está crescendo, pois a derivada é positiva. Após x = 1, a função está decrescendo, pois a derivada é negativa.
No gráfico de f(x), antes de x = 1, a curva está subindo, indicando crescimento. Após x = 1, a curva está descendo, indicando decrescimento. O ponto x = 1 é o ponto de mínimo da função, onde a curva atinge seu valor mínimo.
Lista de comentários
a) f(x) = x^2 + sqrt(x)
A derivada de x^2 é 2x, pois a derivada de x^n é n * x^(n-1).
A derivada de sqrt(x) é (1/2) * x^(-1/2), pois a derivada de sqrt(x) é (1/2) * x^(-1/2).
Agora, somando as derivadas parciais, temos:
f'(x) = 2x + (1/2) * x^(-1/2)
Simplificando, podemos escrever a derivada como:
f'(x) = 2x + (1/2) * sqrt(x)
Portanto, a derivada da função f(x) = x^2 + sqrt(x) é f'(x) = 2x + (1/2) * sqrt(x).
b) b) f(x) = x^2 + 1/e^x
A derivada de x^2 é 2x, pois a derivada de x^n é n * x^(n-1).
A derivada de 1/e^x é -1/e^x, pois a derivada de e^x é e^x e o sinal é negativo devido à regra da cadeia.
Agora, somando as derivadas parciais, temos:
f'(x) = 2x - 1/e^x
Portanto, a derivada da função f(x) = x^2 + 1/e^x é f'(x) = 2x - 1/e^x.
c)
Para calcular a derivada da função f(x) = e^(2x+1), vamos utilizar a regra da cadeia.
A regra da cadeia afirma que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função externa pela derivada da função interna.
No caso da função f(x) = e^(2x+1), a função externa é a exponencial e a função interna é 2x+1.
A derivada da função exponencial e^u, onde u é uma função de x, é dada por d(e^u)/dx = e^u * du/dx.
A derivada de 2x+1 em relação a x é 2.
Aplicando a regra da cadeia, temos:
f'(x) = e^(2x+1) * d(2x+1)/dx
f'(x) = e^(2x+1) * 2
Portanto, a derivada da função f(x) = e^(2x+1) é f'(x) = 2e^(2x+1).
2) a) Para calcular a derivada de f(x) = x^2 - 2x, vamos utilizar as regras de derivação.
A derivada de x^n é n * x^(n-1). Aplicando essa regra, temos:
f'(x) = 2x - 2
b) Para visualizar o gráfico da função f(x) = x^2 - 2x e de sua derivada, podemos plotá-los em um mesmo plano cartesiano.
Primeiro, vamos analisar o gráfico da função f(x). Sabemos que é uma parábola com concavidade voltada para cima, pois o coeficiente do termo x^2 é positivo (1). Além disso, o termo linear -2x indica que a parábola tem um ponto de mínimo. Podemos encontrar o vértice da parábola usando a fórmula x = -b / (2a), onde a é o coeficiente de x^2 e b é o coeficiente de x. No caso, x = -(-2) / (2*1) = 1. Portanto, o vértice da parábola está em x = 1.
Agora, vamos analisar o gráfico da derivada f'(x) = 2x - 2. É uma função linear, portanto, uma reta com inclinação positiva (2). Essa reta intercepta o eixo y em -2.
Agora, plotando ambos os gráficos no mesmo plano, teremos a parábola f(x) = x^2 - 2x e a reta f'(x) = 2x - 2.
c) No gráfico da derivada, observamos que a reta f'(x) = 2x - 2 vale zero em x = 1. Isso significa que a função original f(x) = x^2 - 2x possui um ponto crítico em x = 1, onde a inclinação da curva é nula. Antes de x = 1, a função está crescendo, pois a derivada é positiva. Após x = 1, a função está decrescendo, pois a derivada é negativa.
No gráfico de f(x), antes de x = 1, a curva está subindo, indicando crescimento. Após x = 1, a curva está descendo, indicando decrescimento. O ponto x = 1 é o ponto de mínimo da função, onde a curva atinge seu valor mínimo.