Calcule as derivadas das seguintes funções: A) f(x) = x² + √x B) f(x) = x²+1/e^x C) f(x) = e^²x+1
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liligoesdelima
A) Para calcular a derivada de f(x) = x² + √x, usamos as regras de derivação. Vamos calcular separadamente as derivadas de cada termo da função:
- Derivada de x²: Utilizamos a regra da potência, que afirma que a derivada de x^n é n*x^(n-1). Portanto, a derivada de x² é 2x.
- Derivada de √x: Utilizamos a regra da potência novamente, mas com um expoente fracionário. A derivada de x^(1/2) é (1/2)*x^(-1/2), que simplifica para (1/2√x).
Agora, somamos as derivadas dos dois termos:
f'(x) = 2x + (1/2√x)
B) Para calcular a derivada de f(x) = x² + 1/e^x, aplicamos as regras de derivação novamente:
- Derivada de x²: A derivada de x² é 2x.
- Derivada de 1/e^x: Usamos a regra da cadeia. A derivada de e^u é e^u * du/dx. No caso, u é -x (expoente negativo). Portanto, a derivada de 1/e^x é (1/e^x) * (-1) = -1/e^x.
Somando as derivadas dos dois termos, temos:
f'(x) = 2x - 1/e^x
C) Para calcular a derivada de f(x) = e^(2x+1), usamos a regra da cadeia:
- Derivada de e^(2x+1): A derivada de e^u é e^u * du/dx. No caso, u é 2x+1. Portanto, a derivada de e^(2x+1) é e^(2x+1) * (2).
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- Derivada de x²: Utilizamos a regra da potência, que afirma que a derivada de x^n é n*x^(n-1). Portanto, a derivada de x² é 2x.
- Derivada de √x: Utilizamos a regra da potência novamente, mas com um expoente fracionário. A derivada de x^(1/2) é (1/2)*x^(-1/2), que simplifica para (1/2√x).
Agora, somamos as derivadas dos dois termos:
f'(x) = 2x + (1/2√x)
B) Para calcular a derivada de f(x) = x² + 1/e^x, aplicamos as regras de derivação novamente:
- Derivada de x²: A derivada de x² é 2x.
- Derivada de 1/e^x: Usamos a regra da cadeia. A derivada de e^u é e^u * du/dx. No caso, u é -x (expoente negativo). Portanto, a derivada de 1/e^x é (1/e^x) * (-1) = -1/e^x.
Somando as derivadas dos dois termos, temos:
f'(x) = 2x - 1/e^x
C) Para calcular a derivada de f(x) = e^(2x+1), usamos a regra da cadeia:
- Derivada de e^(2x+1): A derivada de e^u é e^u * du/dx. No caso, u é 2x+1. Portanto, a derivada de e^(2x+1) é e^(2x+1) * (2).
Portanto:
f'(x) = 2e^(2x+1)