Resposta:

Explicação passo a passo:

A) Para calcular a derivada da função f(x) = x² - 2x, utilizamos as regras de diferenciação. A derivada de f(x) é denotada por f'(x) ou dy/dx e representa a taxa de variação instantânea da função em relação a x. Vamos calcular:

f(x) = x² - 2x

Para calcular a derivada, aplicamos a regra da potência e a regra da soma. A derivada de x² é 2x, e a derivada de -2x é -2. Portanto, temos:

f'(x) = 2x - 2

B) Agora vamos esboçar o gráfico da função f(x) e da sua derivada f'(x) no mesmo plano cartesiano:

Gráfico da função f(x):

Para esboçar o gráfico da função f(x) = x² - 2x, podemos começar analisando o formato da função. Trata-se de uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola. O coeficiente de x² é positivo, o que significa que a parábola abre para cima.

Para encontrar os pontos de interseção com os eixos, podemos igualar a função a zero:

x² - 2x = 0

Fatorando:

x(x - 2) = 0

Portanto, os pontos de interseção com os eixos são x = 0 e x = 2. Esses pontos dividem a parábola em duas partes.

Agora, vamos encontrar o vértice da parábola. Para isso, utilizamos a fórmula x = -b/2a, onde a e b são os coeficientes da função quadrática:

x = -(-2)/(2*1) = 1

Substituindo x = 1 na função, encontramos o valor de y:

f(1) = 1² - 2(1) = -1

Portanto, o vértice da parábola está localizado em (1, -1).

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função f(x).

Gráfico da derivada f'(x):

A derivada f'(x) = 2x - 2 representa a inclinação da função f(x) em cada ponto. Para esboçar o gráfico da derivada, podemos analisar os pontos críticos onde f'(x) = 0. Nesse caso, temos:

2x - 2 = 0

2x = 2

x = 1

Portanto, o ponto crítico da derivada é x = 1.

A partir dessas informações, podemos esboçar o gráfico da derivada f'(x).

C) Observações no gráfico da função f(x) antes e depois de x = 1:

Antes de x = 1:

Antes de x = 1, a função f(x) tem uma inclinação crescente. Ou seja, a função está aumentando à medida que x se aproxima de 1. O ponto (1, -1) é o vértice da parábola e marca o ponto de transição. À esquerda de x = 1, a função está decrescendo, enquanto à direita de x = 1, a função está aumentando.

Depois de x = 1:

Depois de x = 1, a função f(x) tem uma inclinação decrescente. Isso significa que a função está diminuindo à medida que x se afasta de 1. O ponto (1, -1) é o ponto de virada da parábola. À esquerda de x = 1, a função está aumentando, enquanto à direita de x = 1, a função está decrescendo.

É importante notar que a informação sobre a inclinação da função f(x) antes e depois de x = 1 é derivada do gráfico da sua derivada f'(x). A derivada nos fornece informações sobre as taxas de variação da função original em diferentes pontos. No caso da função f(x) = x² - 2x, a derivada f'(x) = 2x - 2 nos diz que a inclinação de f(x) aumenta antes de x = 1 e diminui depois de x = 1.