1) Uma vacina com eficiência de 90% será aplicada a um grupo de dez indivíduos. Qual a probabilidade de 8 ou mais pessoas serem imunizadas.
2) Supondo que as consultas num banco de dados ocorrem de forma independente e aleatória, com uma taxa média de 8 consultas por minuto. Calcule a probabilidade de que no próximo minuto ocorram menos de três consultas.
3) A probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0.06. Uma amostra de 131 itens produzidos por esta máquina é selecionada ao acaso. Utilizando a aproximação pela distribuição de Poisson, calcule a probabilidade de que no máximo um item defeituoso seja encontrado nesta amostra.
Observações:
informe os resultados numéricos não inteiros com precisão de quatro casas decimais. Se o número tiver menos de quatro casas decimais, informe todas as casas decimais.
o resultado do exercício que solicitar cálculo de probabilidade deve estar entre 0 e 1. Não forneça o valor em termos de percentuais.
não informe o resultado utilizando fração. Por exemplo, não escreva 1/3 na resposta, mas sim 0,3333.
2) Supondo que as consultas num banco de dados ocorrem de forma independente e aleatória, com uma taxa média de 8 consultas por minuto. Calcule a probabilidade de que no próximo minuto ocorram menos de três consultas.
3) A probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0.06. Uma amostra de 131 itens produzidos por esta máquina é selecionada ao acaso. Utilizando a aproximação pela distribuição de Poisson, calcule a probabilidade de que no máximo um item defeituoso seja encontrado nesta amostra.
Observações:
informe os resultados numéricos não inteiros com precisão de quatro casas decimais. Se o número tiver menos de quatro casas decimais, informe todas as casas decimais.
o resultado do exercício que solicitar cálculo de probabilidade deve estar entre 0 e 1. Não forneça o valor em termos de percentuais.
não informe o resultado utilizando fração. Por exemplo, não escreva 1/3 na resposta, mas sim 0,3333.
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Resposta: 1) Para calcular a probabilidade de 8 ou mais pessoas serem imunizadas em um grupo de dez indivíduos com uma vacina de eficiência de 90%, podemos utilizar a distribuição binomial.
A fórmula da distribuição binomial é dada por:
P(X = k) = (n C k) * p^k * (1 - p)^(n - k)
Onde:
n é o número de ensaios (número de indivíduos no grupo) = 10
k é o número de sucessos desejados (número de pessoas imunizadas) = 8, 9 e 10 (8 ou mais)
p é a probabilidade de sucesso em um único ensaio (eficiência da vacina) = 0,9
Para calcular a probabilidade de 8 ou mais pessoas serem imunizadas (P(X ≥ 8)), devemos somar as probabilidades de 8, 9 e 10 pessoas serem imunizadas:
P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)
P(X = k) = (10 C k) * 0,9^k * (1 - 0,9)^(10 - k)
P(X = 8) = (10 C 8) * 0,9^8 * (1 - 0,9)^(10 - 8) = 0,1937
P(X = 9) = (10 C 9) * 0,9^9 * (1 - 0,9)^(10 - 9) = 0,3874
P(X = 10) = (10 C 10) * 0,9^10 * (1 - 0,9)^(10 - 10) = 0,3487
P(X ≥ 8) = 0,1937 + 0,3874 + 0,3487 = 0,9298
Portanto, a probabilidade de 8 ou mais pessoas serem imunizadas é de aproximadamente 0,9298.
2) Para calcular a probabilidade de ocorrerem menos de três consultas em um minuto com uma taxa média de 8 consultas por minuto, podemos utilizar a distribuição de Poisson.
A fórmula da distribuição de Poisson é dada por:
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
Onde:
X é a variável aleatória representando o número de consultas em um minuto.
λ é o parâmetro da distribuição, que corresponde à taxa média de consultas por minuto = 8
k é o número de ocorrências desejadas (menos de três consultas, ou seja, k = 0 e k = 1)
P(X = 0) = (e^(-8) * 8^0) / 0! = 0,00033546
P(X = 1) = (e^(-8) * 8^1) / 1! = 0,00268368
Para calcular a probabilidade de ocorrerem menos de três consultas, somamos as probabilidades de 0 e 1 consulta:
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,00033546 + 0,00268368 = 0,00301914
Portanto, a probabilidade de ocorrerem menos de três consultas no próximo minuto é de aproximadamente 0,0030.
3) Para calcular a probabilidade de no máximo um item defeituoso ser encontrado em uma amostra de 131 itens produzidos por uma máquina, utilizando a aproximação pela distribuição de Poisson, podemos usar o parâmetro λ da distribuição, que é igual à média e à variância da distribuição de Poisson.
O parâmetro λ é dado por:
λ = n * p
Onde:
n é o tamanho da amostra = 131
p é a probabilidade de um item ser defeituoso = 0,06
λ = 131 * 0,06 = 7,86
Agora, podemos calcular a probabilidade de no máximo um item defeituoso (k = 0 e k = 1):
P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
P(X = 0) = (e^(-7,86) * 7,86^0) / 0! = 0,00043983
P(X = 1) = (e^(-7,86) * 7,86^1) / 1! = 0,00345468
P(X ≤ 1) = 0,00043983 + 0,00345468 = 0,00389451
Portanto, a probabilidade de no máximo um item defeituoso ser encontrado na amostra é de aproximadamente 0,0039.
Explicação passo a passo:
1)
é uma distribuição Binomial(n,p)
X=Número de pessoas que foram imunizadas pela vacina
p=0,9 (probabilidade de sucesso
n=10 (tamanho da amostra)
P[X=x]=Cn,x * p^x * (1-p)^(n-x) .... x=0,1,2,3,..., n
P[X>7]=P[X=8]+P[X=9]+P[X=10]
P[X=8] = C10,8 * 0,9⁸ *(1-0,9)¹⁰⁻⁸ =45 * 0,9⁸ *0,1⁸
P[X=9] = C10,9 * 0,9⁹ *(1-0,9)¹⁰⁻⁹ =10*0,9⁹
P[X=10] = C10,10 * 0,9¹⁰ *(1-0,9)¹⁰⁻¹⁰ =0,9¹⁰
2)
Distribuição de Poisson
λ = 8 consultas por minuto
P[X=x] =e^(-λ) * λ^(x) ]/x!
P[X<3]=P[X=0]+P[X=1]+P[X=2]
P[X=0] =[e^(-8) * 8^(0) ]/0!
P[X=1] =[e^(-8) * 8^(1) ]/1!
P[X=2] =[e^(-8) * 8^(2) ]/2!
3)
Distribuição Binomial (0,06 ; 131)
P[X=x]=Cn,x * p^x * (1-p)^(n-x) .... x=0,1,2,3,..., n
p = 0,06 ..probabilidade de sucesso
P[X<2] =P[X=0]+P[X=1]
P[X<2] = C131,0 * 0,06^0 *(1-0,06)^(131-0) +C131,1 * 0,06^1 *(1-0,06)^(131-1)
P[X<2] = 0,94^131 +131 *0,06*0,94^130 =0,002825554
Fazendo a aproximação pela Poisson
Distribuição de Poisson
λ = 131*0,06 = 7,86 item/máquina
P[X=x] =e^(-λ) * λ^(x) ]/x!
P[X<2] =P[X=0]+P[X=1] = e^(-7,86) * 7,86^(0) ]/0! + e^(-7,86) * 7,86^(1) ]/1!
= e^(-7,86) + e^(-7,86) * 7,86
=0,00341884
Observe
0,002825554 é a correta e a aproximação é 0,00341884