Resposta:

a) partição de um intervalo [tex][a,b][/tex] é uma sequencia limitada, inferiormente e superiormente, do tipo [tex]a=a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n=b[/tex] (ou seja, numeros entre os extremos do intervalos organizados de forma estritamente crescente e cada [tex][a_i,a_{i+1}][/tex] é um sub-intervalo da partição.

b) Para cada sub-intervalo da partição temos [tex]M_i=max\{f(x)|x\in [a_i,a_{i+1}]\}[/tex] e [tex]m_i=inf\{f(x)|x\in [a_i,a_{i-1}]\}[/tex]. Chamamos de Soma Superior a soma que leva cada [tex]\Delta x[/tex] em [tex]M_i[/tex], ou seja  [tex]S_S=\sum_{i=1}^{n}((M_i)\times (\Delta x))[/tex], e usando o raciocínio análogo temos que a Soma Inferior é [tex]S_I=\sum_{i=1}^{n}((m_i)\times (\Delta x))[/tex]

c) Integral Superior é dada como o infimo das somas superiores

[tex]inf\{S_S(P,f)|P\in([a,b])\}[/tex], onde [tex]f[/tex] é função definida em [tex][a,b][/tex] e [tex]P[/tex] uma partição de [tex][a,b][/tex]

Integral Inferior é dada como o supremo das somas inferiores [tex]sup\{S_I(P,f)|P\in([a,b])\}[/tex] onde [tex]f[/tex] é função definida em [tex][a,b][/tex] e [tex]P[/tex] uma partição de [tex][a,b][/tex]

d) Uma função é dita integravel quando [tex]sup\{S_I(P,f)|P\in([a,b])\}=inf\{S_S(P,f)|P\in([a,b])\}[/tex], para esse número real utilizamos a notação

[tex]\int_a^b f(x)dx[/tex]

Acho que era isso... tem uma pancada de demonstração intermediária, mas acho que da pra entender com isso dai... bons estudos