Resposta:

a)

Pela definição de limite, [tex]\lim_{x \to 3} (3x+9)=18 \Leftrightarrow \forall\ \varepsilon > 0\ \exists\ \delta > 0;|x-3| < \delta \Rightarrow |(3x+9)-18| < \varepsilon[/tex]

Seja [tex]\varepsilon > 0[/tex] dado [tex]|(3x+9)-(18)| < \varepsilon[/tex]

Então, qual valor de [tex]\delta[/tex] para [tex]\varepsilon[/tex] dado?

[tex]0 < |x-3| < \delta[/tex]

NOTE QUE [tex]|3x+9-18|=|3x-9|=|3(x-3)|=|3||x-3|=3|x-3|[/tex]

então, como [tex]|(3x+9)-(18)| < \varepsilon[/tex], temos que [tex]3|x-3| < \varepsilon[/tex] e então [tex]|x-3|=\frac{\varepsilon }{3}[/tex]

logo uma possibilidade é [tex]\delta=\frac{\varepsilon}{3}[/tex]

Verificando

Seja [tex]\delta=\frac{\varepsilon}{3}[/tex], então [tex]|x-3| < \frac{\varepsilon}{3}[/tex]

Para [tex]x\to 3^+[/tex] temos [tex]x > 3 \Rightarrow |x-3|=x-3 > 0[/tex] e [tex]0 < x-3 < \frac{\varepsilon}{3}[/tex], logo temos que [tex]3|x-3|=3x-9 < \varepsilon[/tex], como [tex]x > 3[/tex] então [tex]x-3 > 0[/tex], então podemos escrever [tex]|3x-9| < \varepsilon \Rightarrow |(3x+9)-(18)| < \varepsilon[/tex], ou seja, se [tex]|x-3| < \frac{\varepsilon}{3}[/tex] então [tex]|(3x+9)-(18)| < \varepsilon[/tex]

Para [tex]x\to3^-[/tex] temos [tex]x > 3 \Rightarrow |x-3|=-(x-3) > 0[/tex] e [tex]0 < -(x-3) < \frac{\varepsilon}{3}[/tex], logo temos que [tex]3|x-3|=-3x+9 < \varepsilon[/tex], como [tex]x < 3[/tex] então [tex]x-3 < 0[/tex], então podemos escrever [tex]|3x-9| < \varepsilon \Rightarrow |(3x+9)-(18)| < \varepsilon[/tex], ou seja, se [tex]|x-3| < \frac{\varepsilon}{3}[/tex] então [tex]|(3x+9)-(18)| < \varepsilon[/tex]

Como queriamos demonstrar

b) a gente vai seguir a mesma ideia, mas agora para [tex]0 < |x-5| < \delta[/tex] e [tex]|(x^2-3x)-(10)| < \varepsilon[/tex]

[tex]|(x^2-3x)-(10)| < \varepsilon\\|x^2-3x-10| < \varepsilon\\[/tex]

As raizes desse polinomio de grau 2 são [tex]5[/tex] e [tex]-2[/tex], então ele pode ser escrito como [tex](x-5)(x+2)[/tex], dai então

[tex]|(x^2-3x)-(10)| < \varepsilon\\|x^2-3x-10| < \varepsilon\\|(x-5)(x+2)| < \varepsilon\\|(x-5)||(x+2)| < \varepsilon[/tex]

como [tex]x\to5[/tex] então [tex]x+2 > 0[/tex], então

[tex]|(x-5)||(x+2)| < \varepsilon\\|(x-5)|(x+2) < \varepsilon\\|(x-5)| < \frac{\varepsilon}{(x+2)}[/tex]

logo uma possibilidade é [tex]\delta=\frac{\varepsilon}{(x+2)}[/tex]

Verificando

Seja [tex]\delta=\frac{\varepsilon}{(x+2)}[/tex] então [tex]|x-5| < \frac{\varepsilon}{(x+2)}[/tex]

Para [tex]x\to 5^+[/tex] temos [tex]x > 5 \Rightarrow |x-5|=x-5 > 0[/tex] e [tex]0 < x-5 < \frac{\varepsilon}{(x+2)}[/tex], logo temos que [tex](x-5)(x+2) < \varepsilon[/tex], como [tex]x > 5[/tex] então [tex]x-5 > 0[/tex], então podemos escrever [tex](x-5)(x+2)=|(x-5)||(x+2)|=|(x-5)(x+2)|=|(x^2-3x)-(10)| < \varepsilon[/tex], ou seja, se [tex]|x-| < \frac{\varepsilon}{(x-2)}[/tex] então [tex]|(x^2-3x)-(10)| < \varepsilon[/tex]

Para [tex]x\to5^-[/tex] o raciocínio é analogo utilizando a definição de modulo e invertendo a desigualdade al multiplicar por [tex]-1[/tex], assim como no item a