A função de Bessel de ordem zero, escrita como
EM anexo
é assim chamada em homenagem ao matemático e astrônomo alemão Friedrich Wilhelm Bessel (1784 – 1846). Essa função aparece naturalmente no estudo do movimento de planetas, em vários problemas que envolvem fluxo de calor e satisfaz a equação diferencial de coeficientes variáveis xy''+y'+xy=0, que é denominada de equação diferencial de Bessel de ordem zero. ]
Assim, qual o intervalo de convergência da função de Bessel de ordem zero?
0, 1, 2, 3 ou infinito?
EM anexo
é assim chamada em homenagem ao matemático e astrônomo alemão Friedrich Wilhelm Bessel (1784 – 1846). Essa função aparece naturalmente no estudo do movimento de planetas, em vários problemas que envolvem fluxo de calor e satisfaz a equação diferencial de coeficientes variáveis xy''+y'+xy=0, que é denominada de equação diferencial de Bessel de ordem zero. ]
Assim, qual o intervalo de convergência da função de Bessel de ordem zero?
0, 1, 2, 3 ou infinito?
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Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que o valor do intervalo de convergência para a função de Bessel é igual ao infinito.
Queremos encontrar o intervalo de convergência da seguinte série:
[tex]\boxed{ \bf J_0(x)=(-1)^n\dfrac{ x^{2n}}{2^{2n}(n!)^2} }[/tex]
Para encontrarmos o intervalo de convergência dessa série, vamos aplicar o teste da razão, oteste de razão ou teste de d'Alembert é usado para determinar a convergência ou divergência de qualquer série de termos positivos e, portanto, fazer uma classificação deste Esse teste, por sua vez, nos diz que devemos verificar a existência de um n ≥ N, tal que :
[tex]\displaystyle \sf L= \lim _{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|,\quad com~a_n\neq 0[/tex]
Por sua vez, este teste pode ter as seguintes conclusões de acordo com o valor de L que obtivemos :
Vamos descobrir a expressão que ficará no nosso limite L :
[tex]\sf \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left| \dfrac{(-1)^{n + 1}\dfrac{x^{2(n + 1)}}{2^{2(n + 1)}(n + 1)!^2}}{(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{2^{2n}(n!)^2}}\right|[/tex]
Agora vamos calcular o valor do limite da nossa expressão quando n tende ao infinito para que possamos encontrar o valor de L :
[tex]\displaystyle \sf L=\lim _{n\to \infty}\left(\left| \dfrac{(-1)^{n + 1}\dfrac{x^{2(n + 1)}}{2^{2(n + 1)}(n + 1)!^2}}{(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{2^{2n}(n!)^2}}\right|\right)\\\\\\\\ \displaystyle \sf L=\lim _{n\to \infty}\left(\left| \dfrac{(-1)^{n + 1}\dfrac{x^{2n+2}}{2^{2n+2}(n + 1)!^2}}{(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{2^{2n}(n!)^2}}\right|\right)[/tex]
Vamos trabalhar com a expressão do limite usando a propriedade da divisão de frações (preserva a primeira e multiplica a inversa da segunda) se fizermos isso, obtém-se a seguinte expressão:
[tex]\displaystyle \sf L=\lim _{n\to\infty}\left|\dfrac{ \cancel{(-1)^{n+ 1}}\cancel{x^{2n+2}}}{\cancel{2^{2n+2}}(n + 1)!^2} \right|\cdot \left|\dfrac{\cancel{2^{2n}}(n!)^2}{\cancel{(-1)^{n}}\cancel{x^{2n}}}\right|[/tex]
Removendo os termos semelhantes de nossa expressão e aplicando o valor absoluto, obtemos o seguinte limite:
[tex]\displaystyle \sf L=\lim _{n\to\infty}\dfrac{x^2\cdot(n!)^2}{2^2\cdot(n+1)!^2}\\\\\\\\ \displaystyle \sf L=\lim _{n\to\infty}\dfrac{x^2 \cdot(n!)^2}{4 \cdot(n+1)!^2} [/tex]
Vamos separar este produto como o produto de duas frações diferentes.
[tex]\displaystyle \sf L=\lim _{n\to\infty}\dfrac{x^2}{4}\cdot \dfrac{(n!)^2 }{(n+1)!^2}\\\\\\ \sf L=\lim _{n\to\infty}\dfrac{x^2}{4}\cdot \dfrac{n! }{(n+1)!} \cdot\dfrac{n!}{(n+1)!} [/tex]
Expandindo o valor de (n+1)! em nosso limite e obtemos a seguinte expressão:
[tex]\displaystyle \sf L=\lim _{n\to\infty}\dfrac{x^2}{4}\cdot \dfrac{\not\!\!n! }{(n+1)\cdot \not\!\! n!} \cdot\dfrac{\not\!\!n!}{(n+1)\cdot \not\!\!n!} \\\\\\ \displaystyle \sf L=\lim _{n\to\infty}\dfrac{x^2}{4}\cdot \dfrac{1}{(n+1)} \cdot\dfrac{1}{(n+1)}\\\\\\ \displaystyle \sf L=\lim _{n\to\infty}\dfrac{x^2}{4}\cdot \dfrac{1}{(n+1)\cdot(n+1)} [/tex]
Tiramos a expressão [tex]\sf \dfrac{x^2}{4}[/tex] do valor do nosso limite, pois ela será considerada uma constante:
[tex] \displaystyle \sf L=\dfrac{x^2}{4}\cdot\lim _{n\to\infty} \dfrac{1}{(n+1)^2} \\\\\\ \displaystyle \sf L= \dfrac{x^2}{4}\cdot\lim _{n\to\infty} \dfrac{1}{n^2+2n+1} [/tex]
Para resolver esse limite ao infinito vamos dividir todos os termos pela variável de maior grau, no nosso caso a variável com maior expoente é n^2, então dividindo tudo por n^2 obtemos:
[tex] \displaystyle \sf L=\dfrac{x^2}{4}\cdot\lim _{n\to\infty} \dfrac{\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}\\\\\\ \displaystyle \sf L=\dfrac{x^2}{4}\cdot\lim _{n\to\infty} \dfrac{\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}} [/tex]
Se substituirmos o valor de n por infinito em nossa expressão, obteremos o seguinte resultado:
[tex] \sf L=\dfrac{x^2}{4}\cdot\dfrac{\frac{1}{(\infty)^2}}{1+\frac{2}{(\infty)}+\frac{1}{(\infty)^2}} \\\\\\ \sf L=\dfrac{x^2}{4}\cdot\dfrac{0}{1+0+0}\qquad <=>\qquad \therefore~L=0[/tex]
Como L = 0, podemos dizer que que a série converge para todo x, ou seja, temos o seguinte intervalo de convergência para a variável x:
[tex]\boxed{\bf \left(-\infty<x<\infty\right),~ com~ R=\infty}\quad\checkmark[/tex]
Então isso significa que a função de Bessel converge para todos os valores de x.
Bons estudos e espero que te ajude :-)
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✅ A função de Bessel de primeira espécie e ordem zero converge em toda a reta real, isto é, o raio de convergência é infinito.
☁️₁ Critério da razão ( convergência absoluta ): Dada uma série [tex] \rm \sum_{n=0}^{+\infty} a_n [/tex]
[tex] \large\underline{\boxed{\boxed{ \qquad \begin{array}{lr}\displaystyle\rm i) \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1; \\\\\displaystyle\rm ii) \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| > 1 ~ou~ \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \infty; \\\\\displaystyle\rm iii)~~ \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1. \end{array}\qquad}}} [/tex]
❏ Então, caso o critério seja usual:
☁️₂ Critério de Leibniz: Seja [tex] \rm \sum (-1)^n a_n [/tex] uma série de termos alternados. Caso:
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \bullet~a_{n+1} \leqslant a_n\,,~\forall\: n \\\\\displaystyle\rm \bullet~\lim_{n\to\infty} a_n = 0 \end{array} [/tex]
Dizemos que a série alternada converge.
✍️ Solução: Tome como notação, o seguinte
[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\qquad \displaystyle\rm J_0(x) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \overbrace{ \normalsize\rm \dfrac{ x^{2n} }{2^{2n} (n!)^2 }}^{\rm a_n} \qquad}}} [/tex]
⚠️₁ Primeira abordagem: Observe que [tex] \rm J_0(x) [/tex] é uma série alternada, haja vista que [tex] \rm x^{2n} [/tex] nunca é negativo, portanto não problematiza os termos da série.
❏ Veja que:
[tex]\large\begin{array}{lr}\rm \nexists\: x\in \mathbb{R} \mid x^{2n} > 2^{2n}(n!)^2 \end{array}[/tex]
Ou seja, não há [tex] \rm x [/tex] Real que faça o numerador de [tex] \rm J_0(x) [/tex] maior que o denominador desta função. Isso afirma que:
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm 2^{2n}(n!)^2 > x^{2n},~n\to+\infty \end{array} [/tex]
E portanto:
[tex]\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm\lim_{n\to+\infty} a_n = 0 \end{array}[/tex]
E afirma também que [tex]\rm a_{n+1} < a_n,~\forall~n [/tex] e ainda, que [tex] \rm 2^{2n}(n!)^2 [/tex] cresce mais rápido e cresce muito mais que [tex] \rm x^{2n} [/tex]
✔️ Portanto, se precisássemos de uma resposta rápida, poderíamos afirmar que via critério de Leibniz, a função de Bessel possui raio de convergência infinito, pois converge para todo [tex]\rm x [/tex]
⚠️₂ Segunda abordagem: Note que a função de Bessel possui um formato algébrico que praticamente implora pelo teste da razão. Tal série é uma série alternada e para contornar isso, vamos testar a convergência absoluta, a qual é mais forte e implica convergência, logo: (obs.: [tex] \rm x^{2n} \geqslant 0 \,,\:\forall\:x[/tex])
[tex]\large\begin{array}{lr}\rm \left|J_0(x)\right| = \left| \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n\:x^{2n} }{2^{2n} (n!)^2 } \right| = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \dfrac{ x^{2n} }{2^{2n} (n!)^2 } \end{array}[/tex]
❏ Então:
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \left|\dfrac{a_{n+1} }{a_n}\right| &=\rm \dfrac{x^{2(n+1)} }{2^{2(n+1)}[(n+1)!]^2 } \cdot \dfrac{2^{2n}(n!)^2}{x^{2n} } \\\\&=\rm \dfrac{x^{2n+2} }{2^{2n+2}[(n+1)!]^2 } \cdot \dfrac{2^{2n}(n!)^2}{x^{2n} } \\\\&=\rm \dfrac{ \cancel{x^{2n}}\cdot x^{2} }{ \cancel{2^{2n}} \cdot 2^{2}[(n+1)!]^2 } \cdot \dfrac{ \cancel{2^{2n}}(n!)^2}{ \cancel{x^{2n}} } \\\\&=\rm \dfrac{x^2}{4} \cdot \left[\dfrac{n!}{(n+1)!}\right]^2 \\\\&=\rm \dfrac{x^2}{4} \cdot \left[\dfrac{\cancel{n!}}{(n+1)\cdot \cancel{n!}}\right]^2 \\\\&=\rm \dfrac{x^2}{4(n+1)^2} \end{aligned}\end{array} [/tex]
❏ Por fim:
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \displaystyle\rm\lim_{n\to+\infty} \left|\dfrac{a_{n+1} }{a_n}\right| &=\displaystyle\rm \lim_{n\to+\infty} \dfrac{x^2}{4(n+1)^2} \\\\&=\displaystyle\rm \dfrac{x^2}{4} \cdot \lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{(n+1)^2} \\\\&=\displaystyle\rm \dfrac{x^2}{4} \cdot \lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n^2+2n+1} \\\\&=\displaystyle\rm \dfrac{x^2}{4} \cdot \lim_{n\to+\infty} \dfrac{\tfrac{1}{n^2} }{\tfrac{n^2}{n^2}+\tfrac{2n}{n^2}+\tfrac{1}{n^2} } \\\\&=\displaystyle\rm \dfrac{x^2}{4} \cdot 0 \end{aligned}\\\\\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm\therefore\:\lim_{n\to+\infty} \left|\dfrac{a_{n+1} }{a_n}\right| = 0 < 1 }}}\end{array} [/tex]
✔️ Portanto, pelo critério da razão, [tex] \rm J_0(x) [/tex] converge em toda a reta real, isto é, o raio de convergência é infinito.
[tex]\large\begin{array}{lr}\rm \mathbb{D}om[J_0(x)] = \{x \mid x \in \mathbb{R} \} \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: Raio[J_0(x)] = \infty }}}}\end{array}[/tex]
❏ Seção de links para complementar o estudo sobre análise matemática, método de Frobenius, séries e sequências infinitas, critérios de convergência, séries de potências:
[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]