Com os algarismos 1,2,3, ... , 9, quantos números de quatro algarismos existem, em que pelo menos dois algarismos são iguais?
gabarito: 3537
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Se o número é formado por quatro algarismos e teremos que ter pelo menos dois iguais, há três possibilidades: dois serem iguais ou três serem iguais ou quatro serem iguais. As únicas situações que não são de nosso interesse são aquelas em que os números são todos diferentes, portanto, vamos calcular todas as combinações com quatro números e retirar os números que possuem todos os algarismos diferentes.Todos os números possíveis: __ * __ * __ * __.
Podemos repetir os números e temos que os escolher entre 1-9, temos então 9 alternativas para cada caso.
Todos os números possíveis: 9·9·9·9= 6561.
Números em que os algarismos são todos diferentes: __ * __ * __ * __.
Não podemos escolher o mesmo número duas vezes, portanto, começamos com 9 escolhas, depois teremos 8, depois 7 etc.
Números em que os algarismos são todos diferentes: 9·8·7·6= 3024.
Como queríamos todos os números com pelo menos dois números iguais, teremos,
6561-3024= 3537.
R) 3537.
Obs.: para resolver a questão bastaria saber o Princípio Fundamental da Contagem (PFC).
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Resposta:
3537 <-- quantidade de números de 4 algarismos com pelo menos 2 algarismos repetidos
Explicação passo-a-passo:
.
=> Temos 9 algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Temos uma restrição: tem de haver PELO MENOS 2 algarismos iguais ...ou seja tem de ter PELO MENOS 1 algarismo repetido.
..ou por outras palavras ..SÓ NÃO INTERESSAM os números que tenham os 4 algarismos diferentes (distintos).
Assim o raciocínio será:
1º Calcular o total de números possíveis ..com repetição de algarismos
2º Calcular o total de números SEM REPETIÇÃO de algarismos
3º Subtrair ao 1º o valor encontrado em 2º
Resolvendo:
=> Totalidade de números possíveis = 9.9.9.9 = 6561
=> Total de números sem repetições = 9.8.7.6 = 3024
Assim considerando como "X" a quantidade de números de 4 algarismos com pelo menos 2 algarismos iguais será dado por:
X = 6561 - 3024
X = 3537 <-- quantidade de números de 4 algarismos com pelo menos 2 algarismos repetidos
Espero ter ajudado