Dadas as transformações lineares T : IRn → IRm, definidas por:
a) T(x, y) = (x + y, x, 2y).
b) T(x, y, z) = (x − y − 2z, −x + 2y + z, x − 3z).
a) T(x, y, z) = (x − 3y − 2z, y − 4z).
determine:
i) o núcleo de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é injetora?
ii) o espaço imagem de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?
iii) para ps operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
a) T(x, y) = (x + y, x, 2y).
b) T(x, y, z) = (x − y − 2z, −x + 2y + z, x − 3z).
a) T(x, y, z) = (x − 3y − 2z, y − 4z).
determine:
i) o núcleo de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é injetora?
ii) o espaço imagem de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?
iii) para ps operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
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(a) O núcleo de T é o subespaço vetorial de IR3 gerado pelo vetor (-1, -1, 1). A dimensão do núcleo é 1. T não é injetora porque o núcleo não é nulo.
Para encontrar o núcleo de T, precisamos encontrar todos os vetores (x, y, z) tais que T(x, y, z) = (0, 0, 0). Isso equivale a encontrar todos os vetores (x, y, z) tais que x + y = 0, x = 0 e 2y = 0. A solução única para esses equações é (-1, -1, 1). Portanto, o núcleo de T é o subespaço vetorial de IR3 gerado pelo vetor (-1, -1, 1). A dimensão do núcleo é 1.
O fato de o núcleo não ser nulo significa que T não é injetora. Uma transformação injetora é uma transformação que não envia dois vetores diferentes para o mesmo vetor. Como o núcleo de T contém pelo menos um vetor, T não pode ser injetora.
(a) O espaço imagem de T é o subespaço vetorial de IR3 gerado pelos vetores (1, 1, 0), (0, 1, 2) e (1, 0, -3). A dimensão da imagem é 3. T é sobrejetora.
Para encontrar o espaço imagem de T, precisamos encontrar todos os vetores (x, y, z) tais que T(x, y, z) = (a, b, c). Isso equivale a encontrar todos os vetores (x, y, z) tais que x + y = a, x = b e 2y = c. A solução geral para essas equações é (x, y, z) = (a - b, b, 2b - 3c). Portanto, o espaço imagem de T é o subespaço vetorial de IR3 gerado pelos vetores (1, 1, 0), (0, 1, 2) e (1, 0, -3). A dimensão da imagem é 3.
O fato de a dimensão da imagem ser igual à dimensão do espaço de entrada significa que T é sobrejetora. Uma transformação sobrejetora é uma transformação que envia todo o espaço de entrada para a imagem. Como a dimensão da imagem de T é igual à dimensão do espaço de entrada, T é sobrejetora.
(a) O isomorfismo inverso de T é a transformação T -1 : IR3 → IR3, definida por T -1 (a, b, c) = (a - b, b, 2b - 3c).
O isomorfismo inverso de T é uma transformação que inverte T. Em outras palavras, T-1(T(x, y, z)) = (x, y, z) para todos os vetores (x, y, z) no espaço de entrada. No nosso caso, T-1(T(x, y, z)) = (x - y, y, 2y). Portanto, o isomorfismo inverso de T é a transformação T -1 : IR3 → IR3, definida por T -1 (a, b, c) = (a - b, b, 2b - 3c).