Para determinar os valores de a e b para que os conjuntos sejam linearmente independentes (LI), devemos verificar se a única combinação linear que iguala o vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero.

a) (3, 5a, 1), (2, 0, 4), (1, a, 3)

Vamos escrever a combinação linear e igualá-la ao vetor nulo:

c1(3, 5a, 1) + c2(2, 0, 4) + c3(1, a, 3) = (0, 0, 0)

Expandindo a equação:

(3c1 + 2c2 + c3, 5ac1, c1 + 4c2 + 3c3) = (0, 0, 0)

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de c1, c2 e c3, os coeficientes de cada componente devem ser iguais a zero:

3c1 + 2c2 + c3 = 0   (Equação 1)

5ac1 = 0             (Equação 2)

c1 + 4c2 + 3c3 = 0   (Equação 3)

A partir da Equação 2, temos duas possibilidades:

1) a = 0: Nesse caso, a Equação 2 se torna 0 = 0, o que não nos dá informações adicionais.

2) c1 = 0: Isso implica em 3c1 + 2c2 + c3 = 2c2 + c3 = 0. Se c2 = 0 e c3 = 0, não temos informações adicionais. No entanto, se c2 ≠ 0 e c3 ≠ 0, a Equação 2 não seria satisfeita.

Portanto, para que os vetores sejam LI, a = 0.

b) (6, 2, b), (3, a + b, a - 1)

Aplicando o mesmo processo:

c1(6, 2, b) + c2(3, a + b, a - 1) = (0, 0, 0)

Expandindo a equação:

(6c1 + 3c2, 2c1 + (a + b)c2, bc1 + (a - 1)c2) = (0, 0, 0)

As três componentes devem ser iguais a zero:

6c1 + 3c2 = 0         (Equação 4)

2c1 + (a + b)c2 = 0   (Equação 5)

bc1 + (a - 1)c2 = 0   (Equação 6)

Para que os vetores sejam LI, todas as equações devem ser satisfeitas. Podemos considerar algumas possibilidades:

1) c1 = 0:

Se c1 = 0, a Equação 4 não nos dá informações adicionais.

A partir das Equações 5 e 6, temos:

2(0) + (a + b)c2 = 0   ⇒   c2(a + b) = 0

b(0) + (a - 1)c2 = 0   ⇒   (a - 1)c2 = 0

Para que essas equações sejam satisfeitas, temos duas possibilidades:

i) c2 = 0: Nesse caso, não temos informações adicionais.

ii) a = 1: Se a = 1, temos (1 - 1)c2 = 0 ⇒ 0 = 0. Não temos informações adicionais.

2) c2 = 0:

Se c2 = 0, a Equação 5 não nos dá informações adicionais.

A partir das Equações 4 e 6, temos:

6c1 + 3(0) = 0   ⇒   6c1 = 0

bc1 + (a - 1)(0) = 0   ⇒   6c1 = 0

Para que essas equações sejam satisfeitas, temos duas possibilidades:

i) c1 = 0: Nesse caso, não temos informações adicionais.

ii) b = 0: Se b = 0, temos 6c1 + 3(0) = 0 ⇒ 6c1 = 0. Não temos informações adicionais.

Portanto, para que os vetores sejam LI, não há restrições para os valores de a e b.