Resposta:

[tex]\sf{}Segue~a~resposta[/tex]

Explicação passo-a-passo:a) Para mostrar que a lista de matrizes {[tex]\left[\begin{array}{ccc}2&3\\-1&0\end{array}\right][/tex], [tex]\left[\begin{array}{ccc}1&-1\\0&-2&\end{array}\right][/tex], [tex]\left[\begin{array}{ccc}-3&-2\\1&-1&\end{array}\right][/tex], [tex]\left[\begin{array}{ccc}3&-7\\-2&5\end{array}\right][/tex]} é uma base de [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex], precisamos verificar duas condições: linearmente independentes e geradores do espaço.

i) Linearmente independentes: Para mostrar que as matrizes são linearmente independentes, devemos verificar se a única combinação linear que resulta na matriz nula [tex]\left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right][/tex] é aquela em que todos os coeficientes são zero. Portanto, vamos assumir que temos os coeficientes [tex]a, b, c, d[/tex] tais que:

[tex]a \left[\begin{array}{ccc}2&3\\-1&0\end{array}\right] + b \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\0&-2&\end{array}\right] + c \left[\begin{array}{ccc}-3&-2\\1&-1&\end{array}\right] + d \left[\begin{array}{ccc}3&-7\\-2&5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right][/tex].

Isto nos dá o sistema de equações lineares:

[tex]\begin{align}2a + b - 3c + 3d &= 0 \\3a - b - 2c - 7d &= 0 \\-a - 2b + c - 2d &= 0 \\-2b - d &= 0\end{align}[/tex].

Resolvendo esse sistema, obtemos [tex]a = 0[/tex],b = 0, c = 0 ,d = 0[/tex]. Portanto, as matrizes são linearmente independentes.

ii) Geradores do espaço: Para mostrar que as matrizes geram o espaço [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex], devemos verificar se qualquer matriz [tex]\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right][/tex] pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes dadas. Portanto, devemos resolver o sistema de equações lineares:

[tex]\begin{align}2a + b - 3c + 3d &= a \\3a - b - 2c - 7d &= b \\-a - 2b + c - 2d &= c \\-2b - d &= d\end{align}[/tex].

Simplificando, obtemos [tex]a = b = c = d[/tex]. Isso significa que qualquer matriz em [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex] pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes dadas.

Portanto, a lista de matrizes

{[tex]\left[\begin{array}{ccc}2&3\\-1&0\end{array}\right][/tex], [tex]\left[\begin{array}{ccc}1&-1\\0&-2&\end{array}\right][/tex], [tex]\left[\begin{array}{ccc}-3&-2\\1&-1&\end{array}\right][/tex], [tex]\left[\begin{array}{ccc}3&-7\\-2&5\end{array}\right][/tex]} é uma base de [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex].

b) Para mostrar que {1 + [tex]t^2, 1 − t, 1 + 2t + t^2[/tex]} é uma base de [tex]P_2(\mathbb{R})[/tex], devemos verificar duas condições: linearmente independentes e geradores do espaço.

i) Linearmente independentes: Para mostrar que os polinômios são linearmente independentes, devemos verificar se a única combinação linear que resulta no polinômio nulo [tex]0 + 0t + 0[t^2][/tex] é aquela em que todos os coeficientes são zero. Portanto, vamos assumir que temos os coeficientes [tex]a, b, c[/tex] tais que:

[tex]a(1 + t^2) + b(1 - t) + c(1 + 2t + t^2) = 0 + 0t + 0[t^2][/tex].

Isso nos dá a seguinte equação:

[tex](a + b + c) + (a - c)t + (a + 2c)t^2 = 0 + 0t + 0[t^2][/tex].

Comparando os coeficientes do lado esquerdo e do lado direito, obtemos as seguintes equações:

[tex]\begin{align}a + b + c &= 0 \\a - c &= 0 \\a + 2c &= 0\end{align}[/tex].

Resolvendo esse sistema, obtemos [tex]a = b = c = 0[/tex]. Portanto, os polinômios são linearmente independentes.

ii) Geradores do espaço: Para mostrar que os polinômios geram o espaço [tex]P_2(\mathbb{R})[/tex], devemos verificar se qualquer polinômio de grau 2 ou menor pode ser expresso como uma combinação linear dos polinômios dados. Portanto, devemos resolver o sistema de equações lineares:

[tex]\begin{align}a + b + c &= p_0 \\a - c &= p_1 \\a + 2c &= p_2\end{align}[/tex],

onde [tex]p_0,p_1,p_2[/tex] são coeficientes arbitrários do polinômio [tex]p(t) = p_0 + p_1t + p_2[t^2][/tex].

Resolvendo esse sistema, obtemos [tex]a = p_0 + p_1 + p_2,b = p_1 c = -\cfrac{1}{3}p_0 - \cfrac{2}{3}p_2[/tex]. Isso significa que qualquer polinômio de grau 2 ou menor pode ser expresso como uma combinação linear dos polinômios dados.

Portanto, {1 + [tex]t^2[/tex], 1 − t, 1 + 2t + [tex]t^2[/tex]} é uma base de [tex]P_2(\mathbb{R})[/tex].

c) A lista {1 + [tex]t^2, 2 − t, t +t^2[/tex], [tex]t^2[/tex] + [tex]t^3[/tex]} não pode ser uma base de [tex]P_3(\mathbb{R})[/tex] porque possui 4 elementos, enquanto o espaço [tex]P_3(\mathbb{R})[/tex] tem dimensão 4. Para que uma lista seja uma base de um espaço vetorial, ela deve ser linearmente independente e gerar todo o espaço. Nesse caso, a lista não é linearmente independente, pois o último elemento [tex]t^2 + t^3[/tex] pode ser expresso como uma combinação linear dos outros elementos:

[tex](t^2 + t^3) = (1 + t^2]) - (2 - t) - (t + t^2)[/tex].

Portanto, a lista não é linearmente independente e não pode gerar todo o espaço [tex]P_3(\mathbb{R})[/tex], o que significa que não é uma base.