A dimensão do subespaço vetorial W é igual a 3 e uma base de W é {(1, -1, 3, -1), (2, 1, 3, 0), (0,1, -1, 1)}. O subespaço vetorial W não é igual ao [tex]\mathbb{R}^4[/tex]

Subespaço vetorial

O subespaço vetorial W é gerado pelos quatro vetores dados na questão, logo, para determinar uma base de W devemos analisar a dependência linear desses vetores. Ou seja, vamos analisar as soluções da igualdade:

a*(1, -1, 3, -1) + b*(2, 1, 3, 0) + c*(0, 1, -1, 1) + d*(1, 3, -1, 2) = (0, 0, 0, 0)

De onde obtemos o sistema de equações lineares:

a + 2b + d = 0

-a + b + c + 3d = 0

3a + 3b - c - d = 0

-a + c + 2d = 0

Substituindo a = -2b - d, obtemos:

2b + c + 3d = 0

3b + c + 4d = 0

-3b - c - 4d = 0

Substituindo d = -(2b + c)/3, podemos escrever:

b - c = 0

-b + c = 0

Logo, temos a seguinte solução do sistema de equações lineares:

a = -c

d = -c

b = c

Portanto, podemos eliminar um dos vetores de forma a obter um conjunto linearmente independente que gera W (uma base de W). Ou seja, uma base de W é {(1, -1, 3, -1), (2, 1, 3, 0), (0,1, -1, 1)}.

Como a base encontrada possui 3 vetores, temos que a dimensão de W é igual a 3. Como o espaço vetorial [tex]\mathbb{R}^4[/tex] possui dimensão 4, temos que W difere desse espaço vetorial.

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