Seja U e W subespaços de IR4. Em cada item abaixo, determine uma base e a dimensão dos subespaços U, W, U ∩ W e U + W. Responda IR4 = U + W?
a) U = {(x, y, z, t) ∈ IR4 : x + y + z + t = 0} e W = [(1, 1, 0, 0),(0, 0, 2, 1)].
b) U = {(x, y, z, t) ∈ IR4 : x − 2y = 0} e W = {(x, y, z, t) ∈ IR4: x = 0, y + 2z − t = 0, x + 2y + 2t = 0}
a) U = {(x, y, z, t) ∈ IR4 : x + y + z + t = 0} e W = [(1, 1, 0, 0),(0, 0, 2, 1)].
b) U = {(x, y, z, t) ∈ IR4 : x − 2y = 0} e W = {(x, y, z, t) ∈ IR4: x = 0, y + 2z − t = 0, x + 2y + 2t = 0}
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Resposta:
a) Para encontrar uma base e a dimensão de U, podemos reescrever a equação x + y + z + t = 0 como x = -y - z - t. Portanto, uma base para U é {(1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. A dimensão de U é 3.
Para encontrar uma base e a dimensão de W, podemos observar que os vetores (1, 1, 0, 0) e (0, 0, 2, 1) são linearmente independentes. Portanto, uma base para W é {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 2, 1)}. A dimensão de W é 2.
Para encontrar uma base e a dimensão de U ∩ W, precisamos encontrar os vetores que pertencem tanto a U quanto a W. Podemos substituir os vetores de W na equação de U e verificar quais satisfazem a condição. Neste caso, o vetor (1, 1, 0, 0) pertence a U ∩ W. Portanto, uma base para U ∩ W é {(1, 1, 0, 0)}. A dimensão de U ∩ W é 1.
Para encontrar uma base e a dimensão de U + W, podemos somar os vetores de U e W. Portanto, uma base para U + W é {(1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 2,