Para mostrar que os conjuntos [tex]\sf{}{(1, -1, 2), (3, 0, 1)}[/tex] e [tex]\sf{}{(−1, −2, 3), (3, 3, −4)}[/tex] geram o mesmo subespaço, devemos verificar se um conjunto pode ser obtido como combinação linear dos vetores do outro conjunto.
Primeiro, vamos verificar se o conjunto [tex]\sf{}{(1, -1, 2), (3, 0, 1)}[/tex] pode ser obtido como combinação linear dos vetores do conjunto [tex]\sf{}{(−1, −2, 3), (3, 3, −4)}[/tex].
Suponha que existam escalares [tex]\sf{}a[/tex] e [tex]\sf{}b[/tex] tais que:
Podemos resolver esse sistema utilizando métodos de álgebra linear, como eliminação de Gauss-Jordan ou substituição. A solução desse sistema é [tex]\sf{}a = 1[/tex] e [tex]\sf{}b = 0[/tex]. Isso significa que o vetor [tex]\sf{}(1, -1, 2)[/tex] pode ser obtido como combinação linear dos vetores do conjunto [tex]\sf{}{(−1, −2, 3), (3, 3, −4)}[/tex].
Agora, vamos verificar se o conjunto [tex]\sf{}{(−1, −2, 3), (3, 3, −4)}[/tex] pode ser obtido como combinação linear dos vetores do conjunto [tex]\sf{}{(1, -1, 2), (3, 0, 1)}[/tex].
Suponha que existam escalares [tex]\sf{}c[/tex] e [tex]\sf{}d[/tex] tais que:
[tex]\[\begin{align} \sf{}c + 3d &= -1 \\ \sf{}-c &= -2 \\ \sf{}2c + d &= 3 \\\end{align}\][/tex]
Resolvendo esse sistema, obtemos [tex]\sf{}c = 1[/tex] e [tex]\sf{}d = -1[/tex]. Isso significa que o vetor [tex]\sf{}(-1, -2, 3)[/tex] pode ser obtido como combinação linear dos vetores do conjunto [tex]\sf{}{(1, -1, 2), (3, 0, 1)}[/tex].
Portanto, concluímos que os conjuntos [tex]\sf{}{(1, -1, 2), (3, 0, 1)}[/tex] e [tex]\sf{}{(−1, −2, 3), (3, 3, −4)}[/tex] geram o mesmo subespaço.
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Resposta:
[tex]\sf{}Segue~a~resposta[/tex]
Explicação passo-a-passo:
Para mostrar que os conjuntos [tex]\sf{}{(1, -1, 2), (3, 0, 1)}[/tex] e [tex]\sf{}{(−1, −2, 3), (3, 3, −4)}[/tex] geram o mesmo subespaço, devemos verificar se um conjunto pode ser obtido como combinação linear dos vetores do outro conjunto.
Primeiro, vamos verificar se o conjunto [tex]\sf{}{(1, -1, 2), (3, 0, 1)}[/tex] pode ser obtido como combinação linear dos vetores do conjunto [tex]\sf{}{(−1, −2, 3), (3, 3, −4)}[/tex].
Suponha que existam escalares [tex]\sf{}a[/tex] e [tex]\sf{}b[/tex] tais que:
[tex]\sf{}\[a(-1, -2, 3) + b(3, 3, -4) = (1, -1, 2)\][/tex]
Expandindo essa equação, temos:
[tex]\sf{}\[(-a + 3b, -2a + 3b, 3a - 4b) = (1, -1, 2)\][/tex]
Isso resulta em um sistema de equações:
[tex]\[\begin{align} \sf{}-a + 3b &= 1 \\ \sf{}-2a + 3b &= -1 \\ \sf{}3a - 4b &= 2\\\end{align}\][/tex]
Podemos resolver esse sistema utilizando métodos de álgebra linear, como eliminação de Gauss-Jordan ou substituição. A solução desse sistema é [tex]\sf{}a = 1[/tex] e [tex]\sf{}b = 0[/tex]. Isso significa que o vetor [tex]\sf{}(1, -1, 2)[/tex] pode ser obtido como combinação linear dos vetores do conjunto [tex]\sf{}{(−1, −2, 3), (3, 3, −4)}[/tex].
Agora, vamos verificar se o conjunto [tex]\sf{}{(−1, −2, 3), (3, 3, −4)}[/tex] pode ser obtido como combinação linear dos vetores do conjunto [tex]\sf{}{(1, -1, 2), (3, 0, 1)}[/tex].
Suponha que existam escalares [tex]\sf{}c[/tex] e [tex]\sf{}d[/tex] tais que:
[tex]\sf{}\[c(1, -1, 2) + d(3, 0, 1) = (-1, -2, 3)\][/tex]
Expandindo essa equação, temos:
[tex]\sf{}\[(c + 3d, -c, 2c + d) = (-1, -2, 3)\][/tex]
Isso resulta em um sistema de equações:
[tex]\[\begin{align} \sf{}c + 3d &= -1 \\ \sf{}-c &= -2 \\ \sf{}2c + d &= 3 \\\end{align}\][/tex]
Resolvendo esse sistema, obtemos [tex]\sf{}c = 1[/tex] e [tex]\sf{}d = -1[/tex]. Isso significa que o vetor [tex]\sf{}(-1, -2, 3)[/tex] pode ser obtido como combinação linear dos vetores do conjunto [tex]\sf{}{(1, -1, 2), (3, 0, 1)}[/tex].
Portanto, concluímos que os conjuntos [tex]\sf{}{(1, -1, 2), (3, 0, 1)}[/tex] e [tex]\sf{}{(−1, −2, 3), (3, 3, −4)}[/tex] geram o mesmo subespaço.
Bons estudos!