Resposta:

Seja B = {u1, u2, ..., un} uma base de um espaço vetorial V e C = {u1, u1−u2, ..., u1−un}. Para mostrar que C também é uma base de V, precisamos mostrar que C é linearmente independente e que C gera V.

   Linearmente independente: Se α1​(u1​−u2​)+...+αn​(u1​−un​)=0, então α1​(u1​−u2​)+...+αn​(u1​−un​)=α1​u1​−α1​u2​−...−αn​un​=0. Como B é linearmente independente, então α1​=...=αn​=0. Portanto, C é linearmente independente.

   Gera V: Como B gera V, então para qualquer v∈V, existe α1​,...,αn​∈R tais que v=α1​u1​+...+αn​un​. Substituindo ui​ por u1​−uj​, temos v=α1​(u1​−u2​)+...+αn​(u1​−un​). Portanto, C também gera V.

Concluindo, C é linearmente independente e gera V, então C também é uma base de V.