Sejam S = {v1, ..., vn} um conjunto LI de um espaço vetorial V e suponha que u
seja combinação desses vetores u = a1.v1 + a2.v2 + ... + an.vn, onde a1 são números.
Mostre que u se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores de
S. Mostre com um exemplo no IR2 que se o conjunto for LD esta representação não
será única.
seja combinação desses vetores u = a1.v1 + a2.v2 + ... + an.vn, onde a1 são números.
Mostre que u se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores de
S. Mostre com um exemplo no IR2 que se o conjunto for LD esta representação não
será única.
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Para mostrar que o vetor u pode ser escrito de maneira única como combinação linear dos vetores de S, primeiro assumimos que existem dois conjuntos diferentes de coeficientes, a1, a2, ..., an e b1, b2, ..., bn, tais que:
u = a1.v1 + a2.v2 + ... + an.vn = b1.v1 + b2.v2 + ... + bn.vn
Subtraindo a segunda expressão da primeira, obtemos:
0 = (a1 - b1).v1 + (a2 - b2).v2 + ... + (an - bn).vn
No entanto, como S é um conjunto linearmente independente, a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são iguais a zero. Portanto, temos:
a1 - b1 = 0
a2 - b2 = 0
...
an - bn = 0
Isso implica que ai = bi para todos os i, ou seja, os conjuntos de coeficientes são idênticos. Portanto, a representação de u como combinação linear dos vetores de S é única.
Agora, para mostrar um exemplo no IR2 em que o conjunto seja linearmente dependente (LD) e a representação não seja única, consideremos o seguinte conjunto:
S = {(1, 0), (2, 0)}
Este conjunto é linearmente dependente, pois o segundo vetor é um múltiplo do primeiro. Portanto, podemos escrever:
(2, 0) = 2(1, 0)
No entanto, também podemos escrever:
(2, 0) = 3(1, 0) + (-1)(2, 0)
Assim, temos duas representações diferentes para o mesmo vetor. Portanto, quando o conjunto é linearmente dependente, a representação de um vetor como combinação linear dos vetores do conjunto pode não ser única.