No inicio você tem 5 cores para pintar o cubo logo, 5! = 120, porém se está fazendo contagem excessiva quando se troca as cores de dois lados opostos considerados.

Considere dois lados do cubo um oposto ao outro, então teremos:

2(faces opostas) * 4(faces laterais) * N(possibilidades) = 120

N(possibilidades) = 120/8 = 15.

Espero ter ajudado!!!

        Cubo:  6 faces,  usando 5 cores diferentes

         Sejam faces opostas:  1 e  6;  2  e  4;  3  e  5

         Face 1/face 6 ( mesma cor):  5 modos

         Face 2: 4 modos

         Face 3: 3 modos

         Face 4:  2 modos

         Face 5:  1 modo

         Então:.. 5 . 4 . 3 . 2 . 1  =  120

         Resposta:  120 modos distintos.