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Demonstração:

Demonstrar a proposição usando o Princípio da Indução Finita (P.I.F.):

     [tex]p(n)=6\,|\,n(n+1)(n+2)[/tex]

para todo [tex]n\in\mathbb{N}.[/tex]

• Caso base:

Para [tex]n=1,[/tex] temos

     [tex]p(1)=6\,|\,1(1+1)(1+2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 6\,|\,1\cdot 2\cdot 3\\\\ \Longleftrightarrow\quad 6\,|\,6\qquad\mathrm{(i)} [/tex]

Logo, vale [tex]p(1).[/tex]

• Hipótese de indução (H.I.):

Suponha que a proposição é válida para um [tex]k\ge 1[/tex] natural, isto é, vale

     [tex]p(k)=6\,|\,k(k+1)(k+2)\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

• Passo indutivo:

Mostrar que vale [tex]p(k+1).[/tex]

Tomemos o produto:

     [tex](k+1)(k+2)(k+3)\\\\ =(k+1)(k+2)\cdot k+(k+1)(k+2)\cdot 3\\\\ =k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)\\\\ \overset{\mathrm{H.I.}}{=}6q+3(k+1)(k+2)\\\\ =6q+3(k^2+3k+2)\\\\ =6q+3(k^2+3k)+3\cdot 2\\\\ =6q+3k(k+3)+6\\\\ =6(q+1)+3k(k+3)\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

Os números k e k + 3 têm paridades distintas, isto é, se um é par ou outro necessariamente deve ser ímpar. Portanto o produto k(k+3) é um número par. Sendo assim, a expressão (iii) fica

     [tex]=6(q+1)+3\cdot 2q'\\\\ =6(q+1)+6q'\\\\ =6(q+q'+1)[/tex]

sendo [tex]q,\,q'[/tex] números inteiros.

Portanto,

     [tex](k+1)(k+2)(k+3)=6(q+q'+1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 6\,|\,(k+1)(k+2)(k+3)[/tex]

Logo, vale [tex]p(k+1).[/tex]

Pelo P.I.F., se

• [tex]p(1)[/tex] é válido

• [tex]p(k)\quad\Longrightarrow\quad p(k+1),[/tex]    com [tex]k\ge 1[/tex]

então a proposição [tex]p(n)[/tex] é válida para todo [tex]n[/tex] natural, [tex]n\ge 1[/tex]

como queríamos demonstrar.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!