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Enunciado

1) Cálcule a área da região limitada pelas curvas y=sen(x) e y=cos(x) no intervalo [0,π/₂]

2) Encontrea área entre as curvas y=x³ e y=4x-x³ no intervalo [0,2].

3) Determine a área entre as curvas y=eˣ e y=x² no intervalo [0,1]

4) Calcule a ára da região delimitada pelas curvas y=√x e y=x²-1 no intervalo [0,2]

5) Encontre a ára entre as curvas y=1/x e y=2x no intervalo [1,2]

Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de área entre curvas que:

1) A= 2(√2-1) u.a ✅

2) A= 4 u.a ✅

3) A=e -⁴/₃ u.a✅

4) A=1,63 u.a ✅

5) A=3-㏑2 u.a ✅

Área entre curvas

O teorema fundamental do cálculo nos assegura que a integral definida entre os limites de integração x=a e x=b representa a área sob a curva.

matematicamente

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm A=\int_a^bf(x)=\bigg[g(x)\bigg]_a^b=g(b)-g(a)\end{array}}}[/tex]

Observações:

• Quando o limite inferior for 0 não tem necessidade de substituir na função pois tudo se anula

• Se a área a ser calculada for gerada por uma curva f(x) limitada superiormente e g(x) limitada inferiormente, então a área é dada pela diferença das funções f(x) e g(x) entre os limites de integração x=a e x=b

• Se a área a ser calculada for simétrica em relação ao eixo y basta calcular o dobro da integral da função delimitada de x=0 até x=b.

• Se a área a ser calculada estiver abaixo do eixo x então calcula-se o módulo da integral definida de x=a até x=b.

✍️Vamos a resolução do exercício

Para os exercícios de 1 a 5 considere as representações gráficas que estão no anexo.

1) Aqui teremos de dividir em 2 regiões:

• intervalo de 0 a π/₄
• intervalo de π/₄ a π/₂

Cálculo da área no intervalo 0 a π/₄

A curva está delimitada superiormente pelo cosseno e inferiormente pelo seno portanto a área é

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf A_{_1}=\int_0^{^{\pi}/_4} [cos(x)-sen(x)]dx=\bigg[ sen(x)+cos(x)\bigg]_0^{^{\pi}/_4}\\\\\sf A_{_1}=sen\bigg(\dfrac{\pi}{4}\bigg)+cos\bigg(\dfrac{\pi}{4}\bigg)-[sen(0)+cos(0)]\\\\\sf A_{_1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-(0+1)\\\\\sf A_{_1}=\bigg/\!\!\!\!2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\bigg/\!\!\!\!2}-1\\\\\sf A_{_1}=\sqrt{2}-1~u\cdot a\end{array}}}[/tex]

Cálculo da área no intervalo π/₄ a π/₂

A curva está delimitada superiormente pelo  seno e inferiormente pelo cosseno portanto a área é

[tex]\large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf A_{_2}=\int_{^{\pi}/4}^{^{\pi}/_2}[sen(x)-cos(x)dx]=-1\cdot\bigg[cos(x)+sen(x)\bigg]_{^{\pi}/_4}^{^{\pi}/_2}\\\\\sf A_{_2}=-1\cdot\bigg\{ cos\bigg(\dfrac{\pi}{2}\bigg)+sen\bigg(\dfrac{\pi}{2}\bigg)-\bigg[ cos\bigg(\dfrac{\pi}{4}\bigg)+sen\bigg(\dfrac{\pi}{4}\bigg)\bigg]\bigg\}\\\\\sf A_{_2}=-1\bigg\{0+1-\bigg[\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg]\bigg\}\end{array}}}[/tex]

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf A_{_2}=-1\cdot\{0+1-\sqrt{2}\}\\\sf A_{_2}=-1+\sqrt{2}\\\sf A_{_2}=\sqrt{2}-1\end{array}}}[/tex]

A área total é dada por

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf A_t=A_{_1}+A_{_2}\\\sf A_t=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}-1\\\sf A_t=2\sqrt{2}-2\\\sf A_{t} =2\cdot(\sqrt{2}-1)~u\cdot a\end{array}}}[/tex]

2) Como a área pedida tem simetria em relação ao eixo y , podemos calcular o dobro da integral de x=0 até x=√2 para obter a área.

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf A=2\cdot\int_0^{\sqrt{2}}[4x-x^3-x^3]dx\\\displaystyle\sf A=2\cdot\int_0^{\sqrt{2}}[4x-2x^3]dx=2\cdot\bigg[ 2x^2-\dfrac{1}{2}x^4\bigg]_0^{\sqrt{2}}\\\\\sf A=2\cdot\bigg[2(\sqrt{2})^2-\dfrac{1}{2}(\sqrt{2})^4\bigg]\\\\\sf A=2\cdot\bigg[ 2\cdot2-\dfrac{1}{\bigg/\!\!\!\!2}\cdot\bigg/\!\!\!\!4\bigg]\\\\\sf A=2\cdot[4-2]\\\sf A=2\cdot2\\\sf A=4~u\cdot a\end{array}}}[/tex]

3) A área está delimitada superiormente pela curva f(x)=eˣ e inferiormente por  g(x)=x². A área é dada por.

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf A=\int_0^1(e^x-x^2)dx=\bigg[ e^x-\dfrac{1}{3}x^3\bigg]_0^1\\\\\sf A=e^1-\dfrac{1}{3}\cdot 1^3-\bigg[e^0-\dfrac{1}{3}\cdot 0^3\bigg]\\\\\sf A=e-\dfrac{1}{3}-1\\\\\sf A=e-\dfrac{1+3}{3}\\\\\sf A=e-\dfrac{4}{3}~u\cdot a\end{array}}}[/tex]

4) Aqui vamos calcular a área em dois intervalos:

• no intervalo 0 a 1,49
• no intervalo 1,49 a 2.

Cálculo da área no intervalo 0 a 1,49

A área esta delimitada superiormente pela curva f(x)=√x e inferiormente pela curva g(x)=x²-1 portanto

[tex]\large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf A_{_1}=\int_0^{1,49}[\sqrt{x}-(x^2-1)]dx\\\\\displaystyle\sf A_{_1}=\int_0^{1,49}[\sqrt{x}-x^2+1]dx=\bigg[\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{3}x^3+x\bigg]_0^{1,49}\\\\\sf A_{_1}=\dfrac{2}{3}\cdot1,49^{\frac{2}{3}}-\dfrac{1}{3}\cdot1,49^3+1,49\\\\\sf A_{_1}=\dfrac{2}{3}\cdot1,30-\dfrac{1}{3}\cdot3,30+1,49\\\\\sf A_{_1}=\dfrac{2,60-3,30+4,47}{3}\\\\\sf A_{_1}=\dfrac{3,77}{3}\\\\\sf A_{_1}=1,25~u\cdot a\end{array}}}[/tex]

cálculo da área no intervalo 1,49 a  2

a área está delimitada superiormente pela função g(x)=x²-1 e inferiormente pela função f(x)=√x portanto a área é

[tex]\large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf A_{_2}=\int_{1,49}^2[x^2-1-\sqrt{x}]dx=\bigg[\dfrac{1}{3}x^3-x-\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\bigg]_{1,49}^2\\\\\sf A_{_2}=\dfrac{1}{3}\cdot2^3-2-\dfrac{2}{3}\cdot2^{\frac{3}{2}}-\bigg(\dfrac{1}{3}\cdot1,49^3-1,49-\dfrac{2}{3}\cdot1,49^{\frac{3}{2}}\bigg)\\\\\sf A_{_2}=\dfrac{8}{3}-2-\dfrac{2}{3}\cdot2,82-\dfrac{1}{3}\cdot3,3+1,49+\dfrac{2}{3}\cdot1,81\end{array}}}[/tex]

[tex]\large{\boxed{\begin{array}{l}\sf A_{_2}=\dfrac{8}{3}-2-\dfrac{5,64}{3}-\dfrac{3,3}{3}+1,49+\dfrac{3,62}{3}\\\\\sf A_{_2}=\dfrac{8-6-5,64-3,3+4,47+3,62}{3}\\\\\sf A_{_2}=\dfrac{1,15}{3}\\\\\sf A_{_2}=0,38~u\cdot a\end{array}}}[/tex]

a área total  é dada por

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf A_t=A_{_1}+A_{_2}=\\\sf A_t=1,25+0,38\\\sf A_t=1,63\end{array}}}[/tex]

5) A área está delimitada superiormente pela curva  f(x)=2x e inferiormente pela curva g(x)=1/x portanto a área é

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf A=\int_1^2\bigg[2x-\dfrac{1}{x}\bigg]dx=\bigg[x^2-\ln(x)\bigg]_1^2\\\\\sf A=2^2-\ln2-(1^2-\ln1)\\\sf A=4-\ln2-1+\ln1\\\sf A=4-\ln2-1+0\\\sf A=3-\ln2\end{array}}}[/tex]

Saiba mais em:

brainly.com.br/tarefa/55333356

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