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Após a realização dos cálculos✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de soma e produto da equação de segundo grau que  

p-⁵ + q-⁵=482 ✅

Equação de segundo grau

É toda equação que se reduz a forma [tex]\rm ax^2+bx+c=0[/tex] onde [tex]\rm a,b,c\in\mathbb{R},a\ne0[/tex]. As raízes ou zeros de uma equação de segundo grau  são os valores da variável que tornam a igualdade verdadeira.Podem ser obtidas de diversas formas mas as duas técnicas  mais utilizadas são:

• A formula resolutiva para equações de segundo grau que no Brasil é conhecida por fórmula de Bhaskara

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\rm Se\,ax^2+bx+c=0\\\rm ent\tilde ao\\\rm x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\rm \Delta=b^2-4ac\end{array}}[/tex]

• soma e produto : A ideia aqui é perceber que a equação [tex]\rm ax^2+bx+c=0[/tex] é equivalente a [tex]\rm x^2-sx+p=0[/tex]

onde

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\rm s=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\\\\rm p=x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}\end{array}}[/tex]

s representa a soma das raízes e p o produto.

✍️Vamos a resolução do exercício

Aqui não teremos necessidade de resolver a equação pois se conhecermos a soma e o produto a expressão fica mais fácil de simplificar. Observe a figura que eu anexei. Perceba que

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf p^5+q^5=(p+q)^5-5pq[p+q]((p+q)^2-pq)\end{array}}}[/tex]

Agora olhemos para a equação e calculemos a soma e o produto:

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf 5x^2+2x-1=0\\\begin{cases}\sf a=5\\\sf b=2\\\sf c=-1\end{cases}\\\sf p+q=-\dfrac{b}{a}\\\\\sf p+q=-\dfrac{2}{5}\\\\\sf p\cdot q=\dfrac{c}{a}\\\\\sf p\cdot q=-\dfrac{1}{5}\end{array}}}[/tex]

Agora vamos trabalhar a expressão pedida:

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf p^{-5}+q^{-5}=\dfrac{1}{p^5}+\dfrac{1}{q^5}\\\\\sf p^{-5}+q^{-5}=\dfrac{p^5+q^5}{p^5\cdot q^5}\\\\\sf p^{-5}+q^{-5}=\dfrac{(p+q)^5-5pq[p+q](~(p+q)^2-pq)}{(p\cdot q)^5}\end{array}}}[/tex]

Agora basta substituirmos a soma e o produto das raízes na expressão e calcular:

[tex]\large{\boxed{\begin{array}{l}\sf p^{-5}+q^{-5}=\dfrac{\bigg(-\dfrac{2}{5}\bigg)^5-\bigg/\!\!\!\!5\cdot\bigg(-\dfrac{1}{\bigg/\!\!\!\!5}\bigg)\cdot\bigg(-\dfrac{2}{5}\bigg)\bigg[~\bigg(-\dfrac{2}{5}\bigg)^2-\bigg(-\dfrac{1}{5}\bigg)~\bigg]}{\bigg(-\dfrac{1}{5}\bigg)^5}\end{array}}}[/tex]

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf p^{-5}+q^{-5}=\dfrac{-\dfrac{32}{3125}-\dfrac{2}{5}\cdot\bigg[\dfrac{4}{25}+\dfrac{1}{5}\bigg]}{-\dfrac{1}{3125}}\\\\\sf p^{-5}+q^{-5}=\dfrac{-\dfrac{32}{3125}-\dfrac{8}{125}-\dfrac{2}{25}}{-\dfrac{1}{3125}}\\\\\sf p^{-5}+q^{-5}=\dfrac{-\bigg/\!\!\!\!1\cdot\bigg(\dfrac{32}{3125}+\dfrac{8}{125}+\dfrac{2}{25}\bigg)}{-\bigg/\!\!\!\!1\cdot\bigg(\dfrac{1}{3125}\bigg)}\end{array}}}[/tex]

[tex]\large{\boxed{\begin{array}{l}\sf p^{-5}+q^{-5}=\dfrac{\dfrac{32}{3125}+\dfrac{8}{125}+\dfrac{2}{25}}{\dfrac{1}{3125}}\\\\\sf p^{-5}+q^{-5}=3125\cdot\bigg(\dfrac{32}{3125}+\dfrac{8}{125}+\dfrac{2}{25}\bigg)\\\\\sf p^{-5}+q^{-5}=\bigg/\!\!\!\!3125^1\cdot\dfrac{32}{\bigg/\!\!\!\!3125_1}+\bigg/\!\!\!\!3125^{25}\cdot\dfrac{8}{\bigg/\!\!\!\!125_1}+\bigg/\!\!\!\!3125^{125}\cdot\dfrac{2}{\bigg/\!\!\!\!25_1}\end{array}}}[/tex]

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf p^{-5}+q^{-5}=1\cdot32+25\cdot8+125\cdot2\\\sf p^{-5}+q^{-5}=32+200+250\\\sf p^{-5}+q^{-5}=482\end{array}}}[/tex]

Saiba mais em:

brainly.com.br/tarefa/56703858

brainly.com.br/tarefa/55046208

O valor de p⁻⁵ + q⁻⁵ é 482. Alternativa C.

• Determine a soma (S) e o produto (P) das raízes (p e q) da equação do segundo grau 5x² + 2x − 1 = 0, aplicando as relações de Girard,  observando seus coeficientes:

[tex]\large \text {$ \sf S = -\dfrac{b}{a} \qquad e \qquad P = \dfrac{c}{a} \qquad Coeficientes\begin {cases}\sf a=5\\\sf b=2\\\sf c=-1\end {cases} $}[/tex]

• Substitua os valores dos coeficientes.

[tex]\large \text {$ \sf S =p+q= -\dfrac{2}{5} \qquad e \qquad P = p \cdot q =-\dfrac{1}{5}$}[/tex]

• Observe que:

[tex]\large \text {$ \sf p^{-5} + q^{-5} = \dfrac{1}{p^5}+\dfrac{1}{q^5} =\dfrac{q^5+p^5}{p^5 \cdot q^5}= \dfrac{q^5+p^5}{(p \cdot q)^5}$}[/tex]

• Desenvolva (p + q)² e determine p² + q².

(p + q)² = p² + 2pq + q² ⟹ Substitua os valores.

[tex]\large \text {$ \sf \dfrac{4}{5^2} =p^2-\dfrac{2}{5}+q^2 \qquad \Longrightarrow \qquad p^2+q^2= \dfrac{14}{5^2}$}[/tex]

• Desenvolva (p + q) ⋅ (p² + q²) e determine p³ + q³.

(p + q) ⋅ (p² + q²) = p³ + pq² + p²q + q³ ⟹ Agrupe e fatore.

(p + q) ⋅ (p² + q²) = p³ + q³ + pq ⋅ (p + q) ⟹ Substitua os valores.

[tex]\large \text {$ \sf -\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{14}{5^2}=p^3+q^3-\dfrac{1}{5}\cdot \left(-\dfrac{2}{5}\right) $}[/tex]

[tex]\large \text {$ \sf -\dfrac{28}{5^3}=p^3+q^3+\dfrac{2}{5^2} \qquad \Longrightarrow \qquad p^3+q^3= -\dfrac{38}{5^3}$}[/tex]

• Desenvolva (p² + q²)² e determine p⁴ + q⁴.

(p² + q²)² = p⁴ + 2(pq)² + q⁴ ⟹ Substitua os valores.

[tex]\large \text {$ \sf \sf \dfrac{14^2}{5^4}=p^4+q^4+\dfrac{2}{5^2} \qquad \Longrightarrow \qquad p^4+q^4= \dfrac{146}{5^4}$}[/tex]

• Desenvolva (p + q) ⋅ (p⁴ + q⁴) e determine p⁵ + q⁵.

(p + q) ⋅ (p⁴ + q⁴) = p⁵ + pq⁴ + p⁴q + q⁵ ⟹ Agrupe e fatore.

(p + q) ⋅ (p⁴ + q⁴) = p⁵ + q⁵ + pq ⋅ (q³ + p³) ⟹ Substitua os valores.

[tex]\large \text {$ \sf -\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{146}{5^4}=p^5+q^5-\dfrac{1}{5}\cdot \left(-\dfrac{38}{5^3}\right) $}[/tex]

[tex]\large \text {$ \sf -\dfrac{292}{5^5} =p^5+q^5+\dfrac{38}{5^4}\right) \qquad \Longrightarrow \qquad p^5+q^5= -\dfrac{482}{5^5}$}[/tex]

• Determine o valor da expressão pedida.

[tex]\large \text {$ \sf p^{-5} + q^{-5} = \dfrac{q^5+p^5}{(p \cdot q)^5} = \dfrac{-\dfrac{482}{5^5}}{-\dfrac{1}{5^5}} \qquad \Longrightarrow \qquad Simplifique $}[/tex]

[tex]\large \text {$ \sf p^{-5} + q^{-5} = 482$}[/tex]

✅ O valor de p⁻⁵ + q⁻⁵ é 482. Alternativa C.

Aprenda mais:

• brainly.com.br/tarefa/56036006
• brainly.com.br/tarefa/1438764
• brainly.com.br/tarefa/53598836
• brainly.com.br/tarefa/57663561