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Tarefa

Sobre o conjunto solução, na variável x, x ∈ R, a equação:

[tex]\large\text{$x+2=\sqrt{x^2+2\sqrt{4x^{2} +8x+2} }$}[/tex]

pode-se dizer que :

a) é vazio

b) possui somente um elemento

c) possui dois elementos de sinais iguais

d) possui dois elementos de sinais opostos

Resposta

Usando Método Resolução Equações Irracionais, obtém-se:

a) Conjunto solução é vazio

Resolução

Este exercício é sobre uma Equação Irracional

• tem incógnita como parte do radicando de um radical

Como aqui o índice do radical é 2 ( raiz quadradas) o método de

resolução é:

• isolar um radical num dos membros

• elevar ao quadrado cada um dos membros, as vezes necessárias até não restar nenhum radical

[tex]\Large\text{$x+2=\sqrt{x^2+2\sqrt{4x^{2} +8x+2} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{$(x+2)^2=(\sqrt{x^2+2\sqrt{4x^{2} +8x+2} })^2$}[/tex]

[tex]\Large\text{$x^{2} +2\cdot x\cdot 2+2^2=x^2+2\sqrt{4x^{2} +8x+2} ~~~~~~(1)$}[/tex]

[tex]\Large\text{$x^{2} +4x+4=x^2+2\sqrt{4x^{2} +8x+2} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$x^{2}-x^{2} +4x+4=2\sqrt{4x^{2} +8x+2} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$0 +4x+4=2\sqrt{4x^{2} +8x+2} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$4x\cdot \dfrac{1}{2} +4\cdot \dfrac{1}{2}=2\cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{4x^{2} +8x+2} ~~~~~~(2)$}[/tex]

[tex]\Large\text{$2x+2=1\cdot\sqrt{4x^{2} +8x+2} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$2x+2=\sqrt{4x^{2} +8x+2} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$(2x+2)^2=(\sqrt{4x^{2} +8x+2})^2 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$(2x)^2+2 \cdot 2x \cdot 2 +2^2=4x^{2} +8x+2~~~~~~~(3)$}[/tex]

[tex]\Large\text{$2^2\cdot x^2+8x +4=4x^{2} +8x+2$}[/tex]

[tex]\Large\text{$4 x^2+8x +4=4x^{2} +8x+2$}[/tex]

[tex]\Large\text{$4 x^2-4x^{2}+8x-8x +4-2= 0$}[/tex]

[tex]\Large\text{$0+0 +2= 0$}[/tex]

[tex]\boxed{\Large\text{$2= 0$}}[/tex]

Afirmação Falsa.

a) Conjunto solução é vazio

Observação 1

Quadrado de uma adição

Seu desenvolvimento é :

• quadrado do primeiro termo

mais

• dobro do produto do primeiro pelo segundo termos

mais

• quadrado do segundo termo

Exemplo geral:

[tex]\Large\text{$(a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2 $}[/tex]

Observação 1

Radiciação e Potenciação

A raiz quadrada no segundo membro " desaparece " quando é elevada ao quadrado.

Isto porque as operações radiciação e potenciação são inversas.

Quando aplicadas em simultâneo cancelam-se.

Observação 2

Princípio Multiplicativo em equações do primeiro grau

• Multiplicando todos os termos dos membros de uma equação, por

um valor diferente de zero, obtém-se outra equação equivalente à inicial

Exemplo:

[tex]\large\text{$3x=8$}[/tex]

[tex]\large\text{$3x\cdot2=8\cdot2$}[/tex]

[tex]\large\text{$6x=16$}[/tex]

Observação 3

Quadrado de um produto

• igual ao produto dos quadrados

Exemplo:

[tex]\Large\text{$(2\cdot x)^2=2^2 \cdot x^2=4x^{2} $}[/tex]

Observação final

Radical de índice par ( nomeadamente índice 2 )

• A raiz quadrada (ou índice par) apenas se pode resolver quando o radicando for maior ou igual  a zero.

Como não apareceu nenhuma solução não foi necessário analisar os radicandos no início da resolução sobre esta restrição.

Saber mais com Brainly:

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Bons estudos.

Att.  Duarte Morgado

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[tex](\cdot)[/tex]  multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.