Determine uma P.A. de 60 termos em que a soma dos 59 primeiros é 12 e a soma dos 59 últimos é 130.... Pergunta de ideia deNabouvier

December 2019 1 20 Report

Determine uma P.A. de 60 termos em que a soma dos 59 primeiros é 12 e a soma dos 59 últimos é 130

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Lembrete:

☉ $a_n=a_k+\left(n-k\right)r$
☉ $S_n=\dfrac{\left(a_1+a_n\right)\cdot n}{2}$
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A questão informa os seguintes dados:

☉ $S_{59}=12\text{ (Soma dos 59 primeiros termos da P.A)}$
☉ $S_{60}-a_1=130\text{ (Soma dos 59 ultimos termos da P.A)}$
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$S_{60}-a_1=130\\\left(S_{59}+a_{60}\right)-a_1=130\\S_{59}+a_{60}-a_1=130\\12+a_{60}-a_1=130\\a_{60}-a_1=130-12\\a_{60}-a_1=118\\\left(a_1+\left(60-1\right)r\right)-a_1=118\\a_1+59r-a_1=118\\59r=118\\r=\frac{118}{59}\\\bold{r=2}$
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$S_n=\dfrac{\left(a_1+a_n\right)\cdot n}{2}\\S_{59}=\dfrac{\left(a_1+a_{59}\right)\cdot 59}{2}=12\\\left(a_1+a_{59}\right)\cdot 59=24\\a_1+a_{59}=\dfrac{24}{59}\\a_1+\left(a_1+\left(59-1\right)r\right)=\dfrac{24}{59}\\a_1+\left(a_1+58r\right)=\dfrac{24}{59}\\a_1+a_1+58r=\dfrac{24}{59}\\2a_1+58r=\dfrac{24}{59}\\2a_1+\left(58\cdot 2\right)=\dfrac{24}{59}\\2\cdot \left(a_1+58\right)=\dfrac{24}{59}\\\\a_1+58=\dfrac{12}{59}\\\\a_1=\dfrac{12}{59}-58\\\\a_1=\dfrac{12}{59}-\:\dfrac{58\cdot 59}{59}$
$a_1=\dfrac{12-\left(58\cdot 59\right)}{59}\\\\a_1=\dfrac{2\cdot \left(6-\left(29\cdot 59\right)\right)}{59}\\\\a_1=\dfrac{2\cdot \left(6-1711\right)}{59}\\\\a_1=\dfrac{2\cdot \left(-1705\right)}{59}\\\\\bold{a_1=-\dfrac{3410}{59}}$
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Resposta:

๏ $r=2\text{ (Razao da P.A)}$
๏ $a_1=-\dfrac{3410}{59}\text{ (Primeiro termo da P.A)}$

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