Dois prêmios ser distribuído entre n pessoas, de modo que uma mesma pessoa não receba mais que um prêmio. Se os prêmios forem iguais, a distribuição poderá ser feita de K+20 maneiras, mas, se os prêmios forem distintos, a distribuição poderá ser feita de 4k-10 maneiras. Determine o número n de pessoas.
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=> Temos 2 prémios para distribuir entre "n" pessoascondições:
-> Prémios iguais a distribuição poderá ser efetuada de (K + 20) maneiras
-> Prémios diferentes a distribuição poderá ser efetuada de (4K - 10) maneiras
..note que devemos associar a "prémios iguais" o conceito de Combinação Simples e a "prémios diferentes" o conceito de Arranjo Simples.
mas, em primeiro lugar temos de determinar o valor de "K" ..o que nem é difícil dado que podemos estabelecer a seguinte igualdade:
"2" . (K + 20) = 4K - 10
...note que tivemos de colocar o "2" a multiplicar o (K+20) para tornar a Combinação Simples "equivalente" ...ao Arranjo Simples
Resolvendo:
2K + 40 = 4K - 10
40 + 10 = 4K - 2K
50 = 2K
25 = K
...pronto agora vamos ver (exatamente) o número de maneiras para cada caso
K + 20 = 25 + 20 = 45
4K - 10 = 100 - 10 = 90
agora é só aplicar a cada fórmula (Combinação e Arranjo) e conferir o valor de "n"
C(n, 2) = 45
n!/2!(n-2)! = 45
n. (n-1).(n-2)!/2!(n-2)! = 45
n(n - 1)/2! = 45
n² - n = 90
n² - n - 90 = 0
...as raízes desta equação são n₁ = - 9 e n₂ = 10
como não há fatoriais de números negativos ..então n = 10
seguindo o mesmo raciocínio para
A(n, 2) = 90
n!/(n-2)! = 90
n(n-1)(n-2)!/(n-2)! = 90
n(n-1) = 90
..a partir daqui a resolução é igual á anterior pelo que se confirma que n = 10
Espero ter ajudado