Em um paralelogramo ABCD, M(1, -2) é o ponto de encontro das diagonais AC e BD. Sabe-se que A(2, 3) e B(6, 4) são dois vértices consecutivos. Uma vez que as diagonais se cortam mutuamente ao meio, determinem as coordenadas dos vértices C e D.
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As diagonais de um paralelogramo se cortam em seus pontos médios. Sendo assim o ponto M(1,-2) é o ponto de encontro das diagonais AC e BD, ou seja, M é o ponto médio do segmento AC e também é o ponto médio do segmento BD.
Igualando o ponto médios dos segmentos com o ponto M :
[tex]\displaystyle \sf \text{Ponto m\'edio de AC = M(1,-2) ; A (2,3) e }C(x_C,y_C) : \\\\\ \left(\frac{x_A+x_c}{2} \ , \ \frac{y_A+y_C}{2} \right) = (1,-2) \\\\\ \left(\frac{2+x_c}{2} \ , \ \frac{3+y_C}{2} \right)=(1,-2) \\\\\\ \left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle \sf \frac{2+x_C}{2} = 1 \to 2+x_C = 2 \to \boxed{ \sf x_C = 0} \\\\ \displaystyle \sf \frac{3+y_C}{2} = -2 \to 3+y_C = -4 \to \boxed{ \sf y_C = -7} \end{array}\right \to \boxed{\sf C = (0,-7) \ } \\\\\\[/tex]
[tex]\displaystyle \sf \text{Ponto m\'edio de BD = M(1,-2) ; B (6,4) e }D(x_D,y_D) : \\\\\ \left(\frac{x_B+x_D}{2} \ , \ \frac{y_B+y_D}{2} \right) = (1,-2) \\\\\ \left(\frac{6+x_D}{2} \ , \ \frac{4+y_D}{2} \right)=(1,-2) \\\\\\ \left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle \sf \frac{6+x_D}{2} = 1 \to 6+x_C = 2 \to \boxed{ \sf x_C = -4} \\\\ \displaystyle \sf \frac{4+y_C}{2} = -2 \to 4+y_C = -4 \to \boxed{ \sf y_C = -8} \end{array}\right \to \boxed{\sf D = (-4,-8) \ } \\\\\\[/tex]
Portanto as coordenadas dos vértices C e D são :
[tex]\Large\boxed{\begin{matrix}\sf C = (0,-7) \ \ ; \ \ D = (-4,-8) \ \end{matrix}}\checkmark[/tex]
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que as coordenadas dos vértices "C" e "D" são:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf C = (0,\,-7)\:\:\:e\:\:\:D = (-4,\,-8)\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os pontos:
[tex]\Large\begin{cases} A = (2, 3)\\B = (6, 4)\\M = (1, -2)\\C = \:?\\D = \:?\end{cases}[/tex]
Uma vez sabendo que o referido polígono é um paralelogramo, então significa dizer que os lados opostos do referido polígono são congruentes, ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \overline{DA} \equiv \overline{CB}\:\:\:e\:\:\:\overline{DC} \equiv \overline{AB}\end{gathered}$}[/tex]
Além disso, sabemos que o ponto "M" é o ponto onde se cruzam as duas diagonais. Desta forma, podemos resolver esta questão com vetores. Então:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\overrightarrow{DM} & = \overrightarrow{MB}\\M - D & = B - M\\-D & = B - M - M\\-D & = B - 2M\\D & = 2M - B\\D & = 2\cdot(1, -2) - (6, 4)\\D & = (2 , - 4) - (6, 4)\\D & = (2 - 6,\,-4 - 4)\\D & = (-4, -8)\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, o ponto "D" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} D = (-4, -8)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\overrightarrow{MC} & = \overrightarrow{AM}\\C - M & = M - A\\C &= M - A + M\\C & = 2M - A\\C & = 2\cdot(1, -2) - (2, 3)\\C & = (2, -4) - (2, 3)\\C & = (2 - 2,\,-4 - 3)\\C & = (0,\,-7)\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, o ponto "C" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} C = (0, -7)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]