Em uma comunidade existem 3 casas de shows, sabe-se que 12 pessoas participaram desses eventos, de quantas maneiras podemos dispor essas pessoas nestas casas, sabendo que em cada uma ficaram 4 ? Sabendo que 2 delas sempre andam juntas de quantas maneiras podemos escolher duas pessoas dentre as 20?
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Primeiro vamos separar cada clube em suas vagas:_ _ _ _ || _ _ _ _ || _ _ _ _
A primeira vaga podera ser ocupada por qualquer das 12 pessoas:
12 _ _ _ || _ _ _ _ || _ _ _ _
A proxima podera ser preenchida por qualquer das 11 restantes:
12 · 11 _ _ || _ _ _ _ || _ _ _ _
Seguindo esse raciocínio preenchemos todas as vagas:
12 · 11 · 10 · 9 || 8 · 7 · 6 · 5 || 4 · 3 · 2 · 1
Note que dessa forma estaremos contando os mesmos grupos 4 vezes para cada grupo possível em cada clube.
Temos que retirar as permutações dos grupos de cada clube, dividindo cada um pela permutação de seus 4 elementos (4!):
________________________________________
Para duas pessoas serem colocadas juntas, basta combinarmos 12 pessoas, duas a duas:
Há 66 maneiras de de fazermos grupos de 2 pessoas com 12 disponíveis.
___________________________________________
No caso de termos um certo par de amigos {X, Y} que deve ficar unido num mesmo clube, temos, nesse clube:
X Y + _ _
Essas duas vagas podem ser ocupadas por qualquer das 10 pessoas restantes.
Assim, temos que somar as combinações de X e Y com as combinações das 10 pessoas duas a duas: