Encontre o valor de x:.... Pergunta de ideia deKrikor

January 2020 1 192 Report

Encontre o valor de x:

$\dfrac{3+\log _{2}x}{\log _{2}x}+ \dfrac{2-\log _{2}x}{3-\log _{2}x}=\dfrac{5}{2}$

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Resolver a equação logarítmica:

$\mathsf{\dfrac{3 + \ell og_2\,x}{\ell og_2\,x}+\dfrac{2-\ell og_2\,x}{3-\ell og_2\,x}=\dfrac{5}{2}\qquad\quad(i)}$

Faça primeiro uma mudança de variável:

$\mathsf{\ell og_2\,x=t\qquad\quad(t\in\mathbb{R}\setminus \{0,\,3\})}$

Substituindo, a equação (i) fica

$\mathsf{\dfrac{3+t}{t}+\dfrac{2-t}{3-t}=\dfrac{5}{2}\qquad\quad (t\ne 0~~e~~t\ne 3)}$

Reduza as frações do lado esquerdo ao mesmo denominador comum:

$\mathsf{\dfrac{(3+t)\cdot (3-t)}{t\cdot (3-t)}+\dfrac{t\cdot (2-t)}{t\cdot (3-t)}=\dfrac{5}{2}}\\\\\\
\mathsf{\dfrac{(3+t)\cdot (3-t)+t\cdot (2-t)}{t\cdot (3-t)}=\dfrac{5}{2}}$

Expanda os produtos que estão no numerador do lado esquerdo:

$> Produto dos meios = produto dos extremos: t · (3 – t) · 5 = (9 + 2t – 2t²) · 2 15t – 5t² = 18 + 4t – 4t² Reorganizando os termos da equação, e reduzindo os termos semelhantes: 0 = 18 + 4t – 4t² – 15t + 5t² 0 = – 4t² + 5t² + 4t – 15t + 18 0 = t² – 11t + 18 t² – 11t + 18 = 0 (ii) Agora temos uma equação quadrática. Vamos resolvê-la fatorando o lado esquerdo por agrupamento. Reescreva convenientemente – 11t como – 2t – 9t, e a equação (ii) fica t² – 2t – 9t + 18 = 0 t² – 2t – 9t + 9 · 2 = 0 t · (t – 2) – 9 · (t – 2) = 0 Colocando o fator comum (t – 2) em evidência, ficamos com (t – 2) · (t – 9) = 0 t – 2 = 0 ou t – 9 = 0 t = 2 ou t = 9 Agora, substitua de volta para a variável x: log₂ x = 2 ou log₂ x = 9 Portanto, x = 2² ou x = 2⁹ x = 4 ou x = 512 <——— soluções Conjunto solução: S = {4, 512} Bons estudos! :-) Tags: equação logarítmica racional mudança de variável substituição quadrática fatoração por agrupamento báscara solução resolver álgebra <div class=$

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Krikor Muito boa resposta! =)

Krikor Obrigado!

Lukyo Por nada! =)

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